Questão 5

Seja a>0. Seja u0>0 e un+1=12(un+aun) a sequência definida por
n in N^*, un >= raiza
a. Provar que lim n +infty un=raiza.
b. Provar que para todo un+1-raiza <=(un-raiza)^2 12 raiza .
c. Provar que u1-raiza <= k é decrescente.
d. Provar que n >= 1 é convergente.
e. Provar que un-raiza <= 2 raiza(k2 raiza)^2^n-1 .
f. Questão extra: Usando o fato que , provar que
g. Questão extra : Provar que se então para todo

Passo 1

A sequência dada é uma iteração de Newton para aproximar raiza. A cada passo vamos usar manipulações algébricas, desigualdades e o fato de que uma sequência monótona e limitada converge. Precisamos mostrar a identidade do item (a), depois usar essa identidade para provar que un>=raiza, que a sequência é decrescente, que converge e que o limite vale raiza. Nos itens extras vamos explorar uma fatoração para obter estimativas de erro e, por fim, o decaimento exponencial do desvio.

Passo 2

Vamos provar a identidade do item (a). Começamos com
un+1=tfrac12l(un+aunr)

Passo 3

Elevando ao quadrado:
un+1^2=tfrac14l(un^2+2a+a^2un^2r)

Passo 4

Subtraindo a de ambos os lados:
$$u_{n+1}^2 - a = \tfrac14\Bigl(u_n^2 - 2a + \frac{a2}{u_n2}\Bigr) = \tfrac14\Bigl(\frac{u_n^4 - 2au_n^2 + a2}{u_n2}\Bigr) = \frac{(u_n^2 - a)2}{4u_n2}.
$$

Passo 5

Para (b), note que u0>0. Se já tivéssemos un>=raiza, então un+1=tfrac12(un + a/un) é média aritmético-harmônica de dois números não-negativos, logo
$$u_{n+1} \ge \sqrt{u_n\cdot \frac{a}{u_n}}=\sqrt{a}.
$$

Passo 6

Como u0>0, checamos u1=tfrac12(u0 + a/u0)>=raiza e a indução garante un>=raiza para todo n>=1.

Passo 7

Para ©, comparamos un+1 e un. Observe que
$$u_{n+1}-u_n = \tfrac12\Bigl(u_n + \frac{a}{u_n}\Bigr) - u_n = \frac{a - u_n^2}{2u_n} \le 0
$$

Passo 8

pois em (b) vimos un^2>= a. Assim un+1<= un: a sequência é decrescente.

Passo 9

No item (d), já vimos que (un) é decrescente e, pelo (b), é limitada abaixo por raiza. Pelo teorema de sequência monótona, (un) converge.

Passo 10

Para (e), seja L=limntoinftyun. Passando o limite na definição un+1=tfrac12(un + a/un) e usando continuidade,
$$L=\tfrac12\Bigl(L+\frac{a}{L}\Bigr).
$$

Passo 11

Multiplicando por 2 e rearranjando: 2L = L + a/L implica L = a/L, logo L^2 = a. Como L>=raiza>0, concluímos L=raiza.

Passo 12

No extra (f), usamos a fatoração indicada:
un+1^2 - a = (un+1-raiza)(un+1+raiza)

Passo 13

Mas do item (a) un+1^2 - a = tfrac(un^2 - a)^24un^2. Logo
$$u_{n+1}-\sqrt{a} = \frac{(u_n^2 - a)2}{4u_n2,(u_{n+1}+\sqrt{a})} \le \frac{(u_n^2 - a)2}{4u_n2,2\sqrt{a}} \le \frac{(u_n - \sqrt{a})2(u_n+\sqrt{a})2}{8u_n^2\sqrt{a}}.
$$

Passo 14

Como un+raiza<=2un e un>=raiza, isso reduz para
$$u_{n+1}-\sqrt{a} \le \frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2\sqrt{a}}.
$$

Passo 15

No extra (g), supondo u1-raiza<= k, definimos en = un-raiza. Pelo item (f)
$$e_{n+1}\le \frac{e_n^2}{2\sqrt{a}}.
$$

Passo 16

Iterando,
$$e_2 \le \frac{k^2}{2\sqrt{a}},\quad e_3 \le \frac{1}{2\sqrt{a}}\Bigl(\frac{k2}{2\sqrt{a}}\Bigr)2,\quad\dots,\quad e_n \le 2\sqrt{a}\Bigl(\frac{k}{2\sqrt{a}}\Bigr){2{n-1}}.
$$

Resposta

a) un+1^2 - a = (un^2 - a)^24un^2
b) Para todo n>=1, un>=raiza
c) A sequência (un) é decrescente.
d) (un) converge por ser monótona e limitada.
e) limntoinftyun=raiza
f) un+1-raiza<=(un-raiza)^22raiza
g) Se u1-raiza<= k então un-raiza<=2raizal(tfrack2raizar)^2^n-1

Exercícios relacionados