Questão 5
Seja
. Seja
e
a sequência definida por
a. Provar que
.
b. Provar que para todo
.
c. Provar que
é decrescente.
d. Provar que
é convergente.
e. Provar que
.
f. Questão extra: Usando o fato que
, provar que
g. Questão extra : Provar que se
então para todo
b. Provar que para todo
c. Provar que
d. Provar que
e. Provar que
f. Questão extra: Usando o fato que
Passo 1
A sequência dada é uma iteração de Newton para aproximar
. A cada passo vamos usar manipulações algébricas, desigualdades e o fato de que uma sequência monótona e limitada converge. Precisamos mostrar a identidade do item (a), depois usar essa identidade para provar que
, que a sequência é decrescente, que converge e que o limite vale
. Nos itens extras vamos explorar uma fatoração para obter estimativas de erro e, por fim, o decaimento exponencial do desvio.
Passo 2
Vamos provar a identidade do item (a). Começamos com
Passo 3
Elevando ao quadrado:
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados:
$$u_{n+1}^2 - a = \tfrac14\Bigl(u_n^2 - 2a + \frac{a2}{u_n2}\Bigr) = \tfrac14\Bigl(\frac{u_n^4 - 2au_n^2 + a2}{u_n2}\Bigr) = \frac{(u_n^2 - a)2}{4u_n2}.
$$
Passo 5
Para (b), note que
. Se já tivéssemos
, então
é média aritmético-harmônica de dois números não-negativos, logo
$$u_{n+1} \ge \sqrt{u_n\cdot \frac{a}{u_n}}=\sqrt{a}.
$$
Passo 6
Como
, checamos
e a indução garante
para todo
.
Passo 7
Para ©, comparamos
e
. Observe que
$$u_{n+1}-u_n = \tfrac12\Bigl(u_n + \frac{a}{u_n}\Bigr) - u_n = \frac{a - u_n^2}{2u_n} \le 0
$$
Passo 8
pois em (b) vimos
. Assim
: a sequência é decrescente.
Passo 9
No item (d), já vimos que
é decrescente e, pelo (b), é limitada abaixo por
. Pelo teorema de sequência monótona,
converge.
Passo 10
Para (e), seja
. Passando o limite na definição
e usando continuidade,
$$L=\tfrac12\Bigl(L+\frac{a}{L}\Bigr).
$$
Passo 11
Multiplicando por 2 e rearranjando:
implica
, logo
. Como
, concluímos
.
Passo 12
No extra (f), usamos a fatoração indicada:
Passo 13
Mas do item (a)
. Logo
$$u_{n+1}-\sqrt{a} = \frac{(u_n^2 - a)2}{4u_n2,(u_{n+1}+\sqrt{a})} \le \frac{(u_n^2 - a)2}{4u_n2,2\sqrt{a}} \le \frac{(u_n - \sqrt{a})2(u_n+\sqrt{a})2}{8u_n^2\sqrt{a}}.
$$
Passo 14
Como
e
, isso reduz para
$$u_{n+1}-\sqrt{a} \le \frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2\sqrt{a}}.
$$
Passo 15
No extra (g), supondo
, definimos
. Pelo item (f)
$$e_{n+1}\le \frac{e_n^2}{2\sqrt{a}}.
$$
Passo 16
Iterando,
$$e_2 \le \frac{k^2}{2\sqrt{a}},\quad e_3 \le \frac{1}{2\sqrt{a}}\Bigl(\frac{k2}{2\sqrt{a}}\Bigr)2,\quad\dots,\quad e_n \le 2\sqrt{a}\Bigl(\frac{k}{2\sqrt{a}}\Bigr){2{n-1}}.
$$
Resposta
a)
b) Para todo ,
c) A sequência é decrescente.
d) converge por ser monótona e limitada.
e)
f)
g) Se então
b) Para todo
c) A sequência
d)
e)
f)
g) Se