Questão 2 Sejam
e
. Mostrar que
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Para mostrar que
é um subespaço de
, vamos verificar três propriedades:
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostrando que o vetor zero está em
.
O vetor zero em é
. Como
, temos
O vetor zero em
Logo,
não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Verificando a fechadura sob soma.
Sejam e
vetores em
. Então
Sejam
A soma desses vetores é
Como o segundo componente é o dobro do primeiro, a soma também pertence a
.
Passo 4
Verificando a fechadura sob multiplicação escalar.
Se , então
. Para um escalar
, temos
Se
Novamente o segundo componente é o dobro do primeiro, logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e também sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.