Questão 2 Sejam V=\mathbb{R}^{2} e S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=2 x\right\}. Mostrar que S é um subespaço de R^{2}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = \mathbb{R}^2 e o subconjunto
S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = 2x\}.
Para mostrar que S é um subespaço de \mathbb{R}^2, vamos verificar três propriedades:
  1. S contém o vetor zero.
  2. S é fechado sob adição.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostrando que o vetor zero está em S.
O vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). Como 0 = 2\cdot 0, temos
(0,0)\in S.
Logo, S não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Verificando a fechadura sob soma.
Sejam (x_1,y_1) e (x_2,y_2) vetores em S. Então
y_1 = 2x_1 \quad\text{e}\quad y_2 = 2x_2.
A soma desses vetores é
(x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1 + x_2,\;y_1 + y_2) = (x_1 + x_2,\;2x_1 + 2x_2) = \bigl(x_1 + x_2,\;2(x_1 + x_2)\bigr).
Como o segundo componente é o dobro do primeiro, a soma também pertence a S.

Passo 4

Verificando a fechadura sob multiplicação escalar.
Se (x,y)\in S, então y=2x. Para um escalar \lambda\in\mathbb{R}, temos
\lambda\,(x,y) = (\lambda x,\;\lambda y) = (\lambda x,\;\lambda\cdot 2x) = \bigl(\lambda x,\;2(\lambda x)\bigr).
Novamente o segundo componente é o dobro do primeiro, logo \lambda\,(x,y)\in S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e também sob multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

Resposta

S é subespaço de \mathbb{R}^2.

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