Questão 5-Seja X uma v.a. com função de densidade: f(x)= (x / 6)+k, 0<x<3. Calcule P(1 <= X <= 2). R: 1 / 3.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua X com densidade
f(x)=x6+k, 0<x<3,
e a missão é achar
P(1<= X<=2)
Isso é conteúdo de variáveis contínuas: primeiro a gente precisa descobrir o valor de k usando a condição de normalização (a área total sob a curva vale 1) e depois calcular a probabilidade via integral da densidade no intervalo [1,2].

Passo 2

Teoria usada: em v.a. contínua, a soma das áreas (integral da pdf) deve ser 1.
Então impomos
integral0^3f(x),dx=integral0^3l(x6+kr),dx=1
Agora integramos termo a termo:
integral0^3x6,dx=[x^212]0^3=912=34, integral0^3k,dx=kl[xr]0^3=3k
Somando e igualando a 1:
34+3k=1 Longrightarrow 3k=1-34=14 Longrightarrow k=112

Passo 3

Agora que já sabemos k=tfrac112, vamos calcular
P(1<= X<=2)=integral1^2f(x),dx =integral1^2l(x6+112r),dx
Separemos de novo:
integral1^2x6,dx =[x^212]1^2 =412-112=312=14,
integral1^2112,dx =112l[ xr]1^2 =112cdot(2-1)=112
Somando as duas partes dá
14+112 =312+112 =412 =13

Resposta

13.

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