Questão 4 - A taxa de retorno mensal de certo investimento pode ser modelada por uma variável aleatória discreta W , com função de distribuição acumulada descrita a seguir
FW(w)=P(W <= w)= 0 & se w<-5 % 0,40 & se -5 % <= w<0 % 0,55 & se 0 % <= w<5 % 0,80 & se 5 % <= w<10 % 0,95 & se 10 % <= w<15 % 1 & se w >= 15 %
a) Calcule a probabilidade de esse investimento produzir taxa de retorno positiva em um determinado mês.
b) Calcule o retorno esperado deste investimento.
c) Calcule a volatilidade (desvio padrão) do investimento.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um investimento cuja taxa de retorno mensal é uma variável aleatória discreta W, descrita por uma função de distribuição acumulada (CDF). O que o exercício pede:
a) a probabilidade de o retorno ser positivo;
b) o retorno esperado;
c) a volatilidade (desvio padrão).
Conteúdo envolvido: CDF, PMF (probabilidade pontual), cálculo de expectativa e desvio padrão. Para resolver, vamos:
  1. entender como extrair a PMF a partir da CDF;
  2. usar definição de probabilidade (P(W>0));
  3. aplicar as fórmulas de E[W] e Var(W).

Passo 2

Transformando a CDF em PMF: cada salto da CDF em um ponto indica uma probabilidade naquele valor. Os “saltos” são em -5%, 0%, 5%, 10% e 15%.
P(W=-5%)&=FW(-5%)-limwto -5%-FW(w)=0,40-0=0,40, P(W=0%)&=FW(0%)-limwto 0%-FW(w)=0,55-0,40=0,15, P(W=5%)&=0,80-0,55=0,25, P(W=10%)=0,95-0,80=0,15, P(W=15%)&=1-0,95=0,05
Confere que sum pi=1.

Passo 3

Probabilidade de retorno positivo P(W>0%):
usamos
P(W>0%)=1-P(W<=0%)=1-FW(0%)=1-0,55=0,45
Ou somando diretamente P(5%)+P(10%)+P(15%)=0,25+0,15+0,05=0,45.

Passo 4

Retorno esperado E[W]:
E[W]=sumi wi,pi =(-5%)cdot0,40+(0%)cdot0,15+(5%)cdot0,25+(10%)cdot0,15+(15%)cdot0,05=1,5%

Passo 5

Volatilidade (desvio padrão):
  1. calcular E[W^2]:
E[W^2]=(-0,05)^2cdot0,40+0^2cdot0,15+(0,05)^2cdot0,25+(0,10)^2cdot0,15+(0,15)^2cdot0,05=0,00425
  1. variância
Var(W)=E[W^2]-l(E[W]r)^2 =0,00425-(0,015)^2=0,004025
  1. desvio padrão
sigmaW=raizVar(W)approx0,0635ou 6,35%

Resposta

a) 0,45
b) 1,5%
c) 6,35%

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