Questão 4. (2,0) Sejam A e B conjuntos quaisquer, mostre que
(A \cup B)^{C}=A^{C} \cap B^{C} .

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a lei de De Morgan em teoria de conjuntos:
(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}.
Para provar que dois conjuntos são iguais, vamos mostrar duas inclusões: (A\cup B)^{C}\subseteq A^{C}\cap B^{C} e A^{C}\cap B^{C}\subseteq (A\cup B)^{C}.

Passo 2

Provar (A\cup B)^{C}\subseteq A^{C}\cap B^{C}.
Suponha x\in (A\cup B)^{C}.
Então
x\notin A\cup B,
o que significa que
x\notin A\quad\text{e}\quad x\notin B.
Logo
x\in A^{C}\quad\text{e}\quad x\in B^{C},
Isto é,
x\in A^{C}\cap B^{C}.

Passo 3

Provar A^{C}\cap B^{C}\subseteq (A\cup B)^{C}.
Suponha x\in A^{C}\cap B^{C}.
Então
x\in A^{C}\quad\text{e}\quad x\in B^{C},
isto é,
x\notin A\quad\text{e}\quad x\notin B.
Logo
x\notin A\cup B,
portanto
x\in (A\cup B)^{C}.

Passo 4

Como mostramos ambas as inclusões, concluímos
(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}.

Resposta

(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}.

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