Questão 1. (1,0) Sendo A=\{1,2, \ldots, 9,10\} o conjunto universo das variáveis x e y, determine:
a) o conjunto verdade da sentença aberta p(x):(\forall y)(x+y<14)
b) o conjunto verdade da sentença aberta p(x):(\exists y)(x+y<14)
c) o valor lógico da seguinte proposição (\forall x \in A)(\exists y \in A)(x+y<14)
d) a negação da proposição do item anterior

Passo 1

O universo é A=\{1,2,\dots,10\}. Precisamos trabalhar com sentenças abertas envolvendo quantificadores sobre x,y\in A. Em (a) e (b) determinamos o conjunto-verdade de
p(x): (\forall y\in A)(x+y<14) \quad\text{e}\quad q(x): (\exists y\in A)(x+y<14).
Em (c) avaliamos a verdade de
(\forall x\in A)(\exists y\in A)(x+y<14),
e em (d) construímos sua negação.

Passo 2

Para (\forall y\in A)(x+y<14) basta que a desigualdade valha para o maior y, isto é y=10. Então exigimos
x + 10 < 14
x < 4.
Como x\in A, isso implica x\in\{1,2,3\}. Logo
\{\,x\in A \mid (\forall y\in A)(x+y<14)\} = \{1,2,3\}.

Passo 3

Para (\exists y\in A)(x+y<14) basta achar algum y que satisfaça x+y<14. Tomando y=1 temos
x + 1 < 14 \quad\Longleftrightarrow\quad x < 13,
e todo x\in A satisfaz x\le 10<13. Portanto
\{\,x\in A \mid (\exists y\in A)(x+y<14)\} = A.

Passo 4

A proposição
(\forall x\in A)(\exists y\in A)(x+y<14)
é verdadeira porque, para cada x\in A, podemos escolher y=1 e obter x+1\le 10+1=11<14. Logo o valor lógico é Verdadeiro.

Passo 5

A negação de
(\forall x\in A)(\exists y\in A)(x+y<14)
é, pelas leis de De Morgan para quantificadores,
(\exists x\in A)\,\neg(\exists y\in A)(x+y<14) \quad\Longleftrightarrow\quad (\exists x\in A)(\forall y\in A)\,\neg(x+y<14).
Como \neg(x+y<14) equivale a x+y\ge 14, a negação final é
(\exists x\in A)(\forall y\in A)(x+y\ge 14).

Resposta

a) \{1,2,3\}
b) \{1,2,\dots,10\}
c) Verdadeiro
d) \displaystyle (\exists x\in A)(\forall y\in A)(x+y\ge 14).

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