Questão 2. Sejam A=\left\{x \in \mathbb{Z}:|x|^{2}-3|x|+2=0\right\} e B=\left\{x \in \mathbb{Z}: x^{2}-2 x \leq 0\right\}. Liste os elementos de
a) (0,2) A
b) (0,2) B
c) (0,2) A \cap B
d) (0,2) A^{C}
e) (0,2) A^{C} \cup B

Passo 1

O enunciado define
A = \{x\in\mathbb{Z} : |x|^{2} - 3|x| + 2 = 0\}
e
B = \{x\in\mathbb{Z} : x^{2} - 2x \le 0\}
e pede para listar elementos de várias operações envolvendo o intervalo aberto (0,2). Vamos resolver em etapas: primeiro achar A e B, depois intersectar com (0,2), e finalmente fazer as operações de união, interseção e complemento.

Passo 2

Determinar A. Seja y = |x|. A equação fica
y^{2} - 3y + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y-1)(y-2)=0
logo y\in\{1,2\}. Como y=|x|, temos
x = \pm1 \quad\text{ou}\quad x=\pm2,
ou seja
A = \{-2,\,-1,\,1,\,2\}.

Passo 3

Determinar B. A desigualdade
x^{2} - 2x \le 0
fatora-se em
x(x-2)\le 0,
cuja solução real é 0\le x\le 2. Como x é inteiro,
B = \{0,\,1,\,2\}.

Passo 4

Calcular (0,2)\cap A. O intervalo aberto (0,2) só contém o inteiro 1, e 1\in A. Logo
(0,2)\cap A = \{1\}.

Passo 5

Calcular (0,2)\cap B. Novamente o único inteiro em (0,2) é 1, e 1\in B. Logo
(0,2)\cap B = \{1\}.

Passo 6

Calcular (0,2)\cap(A\cap B). Primeiro A\cap B = \{1,2\}. Intersecção com (0,2) deixa só
(0,2)\cap(A\cap B) = \{1\}.

Passo 7

Calcular (0,2)\cap A^{C}. Aqui A^{C} = \mathbb{Z}\setminus A. O único inteiro em (0,2) é 1, mas 1\notin A^{C} (pois 1\in A), então
(0,2)\cap A^{C} = \varnothing.

Passo 8

Calcular (0,2)\cap(A^{C}\cup B). Como já vimos, o único inteiro em (0,2) é 1, e 1\in B\subset A^{C}\cup B. Logo
(0,2)\cap(A^{C}\cup B) = \{1\}.

Resposta

a) \{1\}
b) \{1\}
c) \{1\}
d) \varnothing
e) \{1\}

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