Seja claróe organizado ao responder sua questāo;
Determine o ponto crítico da função f(x, y)=\frac{1}{3} y^{3}+4 x y-x^{2}-9 y e classifique-o quando possível.
Determine o ponto crítico da função f(x, y)=\frac{1}{3} y^{3}+4 x y-x^{2}-9 y e classifique-o quando possível.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los (máximo, mínimo ou sela). Para isso precisamos:
- calcular as derivadas parciais
e ; - resolver o sistema
para achar os pontos críticos; - usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Impondo
, temos o sistema
Da primeira equação
segue
. Substituindo na segunda:
Essa é uma equação quadrática em
com discriminante
. Logo
Então os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar, usamos a matriz Hessiana
com
O discriminante da Hessiana é
Em cada ponto temos:
- Em
:
,
o que indica ponto de sela.
- Em
:
,
e como
, é um ponto de máximo local.
Resposta
O ponto crítico
é ponto de sela.
O ponto crítico é um máximo local.
O ponto crítico