Seja claróe organizado ao responder sua questāo;
Determine o ponto crítico da função f(x, y)=\frac{1}{3} y^{3}+4 x y-x^{2}-9 y e classifique-o quando possível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=\tfrac{1}{3}y^{3}+4xy - x^{2}-9y
e classificá-los (máximo, mínimo ou sela). Para isso precisamos:
  1. calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y};
  2. resolver o sistema \nabla f=0 para achar os pontos críticos;
  3. usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} =4y - 2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =y^{2} + 4x - 9.

Passo 3

Impondo \nabla f=0, temos o sistema
4y - 2x = 0, \qquad y^{2} + 4x - 9 = 0.
Da primeira equação 4y - 2x=0 segue x=2y. Substituindo na segunda:
y^{2} + 4(2y) - 9 = y^{2} + 8y - 9 = 0.
Essa é uma equação quadrática em y com discriminante \Delta = 8^{2} - 4\cdot1\cdot(-9)=100. Logo
y = \frac{-8 \pm 10}{2} \quad\Longrightarrow\quad y = 1 \quad\text{ou}\quad y = -9.
Então os pontos críticos são
(x,y) = (2\cdot1,\,1) = (2,1) \quad\text{e}\quad (x,y) = (2\cdot(-9),\,-9) = (-18,-9).

Passo 4

Para classificar, usamos a matriz Hessiana
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
com
f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = f_{yx} = 4, \quad f_{yy} = 2y.
O discriminante da Hessiana é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
Em cada ponto temos:
  • Em (2,1):
    f_{yy}=2\cdot1=2,
D = (-2)\cdot2 - 4^{2} = -4 - 16 = -20 < 0,
o que indica ponto de sela.
  • Em (-18,-9):
    f_{yy}=2\cdot(-9)=-18,
D = (-2)\cdot(-18) - 4^{2} = 36 - 16 = 20 > 0,
e como f_{xx}=-2<0, é um ponto de máximo local.

Resposta

O ponto crítico (2,1) é ponto de sela.
O ponto crítico (-18,-9) é um máximo local.

Exercícios relacionados