Questäo 3: Sejam e duas bases ordenadas de .
(a) (15 pontos) Encontre a matriz de mudança da base para a base .
(b) (10 pontos) Utilizando a matriz obtida no item (a), encontre as coordenadas do vetor em relação à base .
Passo 1
O enunciado dá duas bases ordenadas de : e a base canônica .
No item (a) precisamos achar a matriz de mudança de base de para , isto é, , que satisfaz
para todo vetor . Para isso, vamos expressar cada como combinação linear de .
Passo 2
Expressão de
Isso gera o sistema
Da segunda equação . Da terceira .
Logo
isto é, as coordenadas de em são , que será a primeira coluna de .
Passo 3
Expressão de
O sistema é
Da segunda equação . Da terceira .
Portanto
e as coordenadas de em são , a segunda coluna da matriz.