Questäo 3: Sejam beta=(1,0,-1),(0,0,2),(2,-1,0) e beta^prime=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) duas bases ordenadas de Pi^3.
(a) (15 pontos) Encontre a matriz de mudança da base beta^prime para a base beta,[I]beta^beta^prime.
(b) (10 pontos) Utilizando a matriz obtida no item (a), encontre as coordenadas do vetor v=(1,-4,7) em relação à base beta.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de R^3:
beta=b1=(1,0,-1),,b2=(0,0,2),,b3=(2,-1,0) e a base canônica beta'=e1=(1,0,0),,e2=(0,1,0),,e3=(0,0,1).
No item (a) precisamos achar a matriz de mudança de base de beta' para beta, isto é, [I]beta^beta', que satisfaz
[I]beta^beta';[v]beta' ;=;[v]beta
para todo vetor v. Para isso, vamos expressar cada ei como combinação linear de b1,b2,b3.

Passo 2

Expressão de
Isso gera o sistema
Da segunda equação . Da terceira .
Logo
isto é, as coordenadas de em são , que será a primeira coluna de .

Passo 3

Expressão de
O sistema é
Da segunda equação . Da terceira .
Portanto
e as coordenadas de em são , a segunda coluna da matriz.

Passo 4

Expressão de
O sistema é
Da segunda equação . Da terceira .
Assim
com coordenadas , a terceira coluna da matriz.

Passo 5

Montando [I]beta^beta' com essas colunas, temos
[I]beta^beta' = 1 & 2 & 0[6pt] tfrac12 & 1 & tfrac12[6pt] 0 & -1 & 0 ]

Passo 6

No item (b) queremos as coordenadas de v=(1,-4,7) na base beta. Primeiro, em beta' (canônica), [v]beta'=(1,-4,7). Logo
[v]beta = [I]beta^beta',[v]beta' = 1 & 2 & 0 tfrac12 & 1 & tfrac12 0 & -1 & 0 1-47 = 1cdot1 + 2cdot(-4) + 0cdot7[4pt] tfrac12cdot1 + 1cdot(-4) + tfrac12cdot7[4pt] 0cdot1 + (-1)cdot(-4) + 0cdot7 = -7 0 4 ]

Resposta

(a)
[I]beta^beta' = 1 & 2 & 0 tfrac12 & 1 & tfrac12 0 & -1 & 0
(b) As coordenadas de v=(1,-4,7) em relação a beta são
[v]beta = (-7,,0,,4)

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