Verifique se a matriz dada satisfaz a equação diferencial:
Psi^prime=(cc1 & 1 4 & -2) Psi, Psi(t)=(cce^-3 t & e^2 t -4 e^-3 t & e^2 t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a matriz solução
Psi(t)= e^-3t & e^2t -4e^-3t & e^2t
satisfaz a equação diferencial matricial
Psi' = A,Psi, A = 1&14&-2
Vamos calcular de um lado Psi'(t) (derivada de cada entrada) e do outro A,Psi(t), e mostrar que são iguais.

Passo 2

Calculemos Psi'(t) derivando cada entrada de Psi(t):
Psi'(t) = ddte^-3t & ddte^2t[6pt] ddt(-4e^-3t) & ddte^2t = -3e^-3t & 2e^2t[6pt] 12e^-3t & 2e^2t ]

Passo 3

Agora calculemos o produto A,Psi(t):
A,Psi(t) = 1&14&-2 e^-3t & e^2t -4e^-3t & e^2t = 1cdot e^-3t + 1cdot(-4e^-3t) & 1cdot e^2t+1cdot e^2t[6pt] 4cdot e^-3t + (-2)cdot(-4e^-3t) & 4cdot e^2t + (-2)cdot e^2t = -3e^-3t & 2e^2t[6pt] 12e^-3t & 2e^2t ]

Passo 4

Comparando os resultados de Psi'(t) e A,Psi(t), vemos que
Psi'(t) = -3e^-3t & 2e^2t 12e^-3t & 2e^2t = A,Psi(t)
Logo, a igualdade matricial é satisfeita.

Resposta

A matriz Psi(t) satisfaz a equação diferencial Psi' = A,Psi.

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