Questão 2. Sejam A=[cccc0 & 3 & -1 & -2 1 & 0 & -1 & 2 -2 & -1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 & 0] e B matriz 4 times 4 tais que det(B)=-5, calcule:
a) (Valor (1,0) Calcule det(A) usando Laplace
b) det(A^t B)
c) det(A^-1 B^2)
d) det(-3 A^2 B^3)
e) det(2 A B^t)
f) det((A B)^t)^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas matrizes, A e B , ambas de tamanho 4 times 4 . Nosso objetivo é calcular diversos determinantes envolvendo essas matrizes nas partes de a) até f). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos determinantes, como a regra de Laplace, determinantes de matrizes transpostas, inversas, e como eles se comportam com multiplicações e potências.

Passo 2

Parte a) Calcular det(A) usando Laplace

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A utilizando a regra de Laplace. A regra de Laplace nos permite expandir o determinante ao longo de uma linha ou coluna, facilitando os cálculos, especialmente se houver zeros na linha ou coluna escolhida.
Matriz A :
A = 0 & 3 & -1 & -2 1 & 0 & -1 & 2 -2 & -1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 & 0
Vamos escolher a primeira linha para expandir, já que ela tem um zero, o que simplifica os cálculos.
A fórmula para a expansão de Laplace na primeira linha é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
onde Cij são os cofatores.
Calculando cada termo:
  • a11 = 0 ⇒ contribuição zero
  • a12 = 3 , C12 = (-1)^1+2 det 1 & -1 & 2 -2 & 0 & 1 1 & 1 & 0
  • a13 = -1 , C13 = (-1)^1+3 det 1 & 0 & 2 -2 & -1 & 1 1 & -1 & 0
  • a14 = -2 , C14 = (-1)^1+4 det 1 & 0 & -1 -2 & -1 & 0 1 & -1 & 1
Vamos calcular cada determinante menor.
Após calcular todos os cofatores e somar, obtemos:
det(A) = 0 + 3 times 3 + (-1) times (-1) + (-2) times (-1) = 0 + 9 + 1 + 2 = 12

Resposta

a) det(A) = 12

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