Questão 1. (Valor 2,0) Considere as matrizes e determine:
A=(ccc 2 & -1 & 3 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 5 ) e B=(ccc 1 & 0 & -1 3 & 2 & 1 0 & -1 & 4 )
a) A.B
b) Determine, se possível, a matriz X tal que (A^t cdot X)^-1-(B^-1)^t=0.

Passo 1

Vamos resolver a Questão 1, que envolve operações com matrizes. O enunciado nos dá duas matrizes, A e B , e pede para:
a) Calcular o produto A cdot B .
b) Encontrar, se possível, a matriz X que satisfaz a equação (A^t cdot X)^-1 - (B^-1)^t = 0 .
Para resolver essas partes, vamos precisar entender como multiplicar matrizes, calcular transpostas, inversas de matrizes e manipular essas operações.

Passo 2

Parte a) Calcular A cdot B
Primeiro, vamos multiplicar as matrizes A e B . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somando os produtos.
Matriz A :
A = 2 & -1 & 3 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 5
Matriz B :
B = 1 & 0 & -1 3 & 2 & 1 0 & -1 & 4
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante C = A cdot B .

Passo 3

Para calcular a posição (i,j) da matriz C , multiplicamos a linha i de A pela coluna j de B e somamos os produtos:
Cij = sumk=1^3 Aik cdot Bkj
Vamos calcular elemento por elemento:
  1. C_{11}:
C11 = (2)(1) + (-1)(3) + (3)(0) = 2 - 3 + 0 = -1
  1. C_{12}:
C12 = (2)(0) + (-1)(2) + (3)(-1) = 0 - 2 - 3 = -5
  1. C_{13}:
C13 = (2)(-1) + (-1)(1) + (3)(4) = -2 -1 +12 = 9
  1. C_{21}:
C21 = (4)(1) + (0)(3) + (1)(0) = 4 + 0 + 0 = 4
  1. C_{22}:
C22 = (4)(0) + (0)(2) + (1)(-1) = 0 + 0 -1 = -1
  1. C_{23}:
C23 = (4)(-1) + (0)(1) + (1)(4) = -4 + 0 +4 = 0
  1. C_{31}:
C31 = (-2)(1) + (1)(3) + (5)(0) = -2 +3 +0 = 1
  1. C_{32}:
C32 = (-2)(0) + (1)(2) + (5)(-1) = 0 +2 -5 = -3
  1. C_{33}:
C33 = (-2)(-1) + (1)(1) + (5)(4) = 2 +1 +20 = 23

Passo 4

Agora, organizamos os elementos calculados na matriz C :
C = A cdot B = -1 & -5 & 9 4 & -1 & 0 1 & -3 & 23

Passo 5

Parte b) Determinar a matriz X tal que (A^t cdot X)^-1 - (B^-1)^t = 0
Primeiro, vamos entender a equação:
(A^t cdot X)^-1 = (B^-1)^t
Isso significa que a inversa do produto da transposta de A com X é igual à transposta da inversa de B .
Vamos reorganizar a equação para encontrar X :
(A^t cdot X)^-1 = (B^-1)^t
Inverter ambos os lados:
A^t cdot X = ((B^-1)^t)^-1
Sabemos que (M^-1)^t = (M^t)^-1 . Então:
((B^-1)^t)^-1 = ((B^t)^-1)^-1 = B^t
Portanto:
A^t cdot X = B^t
Para encontrar X , multiplicamos ambos os lados por (A^t)^-1 :
X = (A^t)^-1 cdot B^t

Passo 6

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Transposta de A , A^t :
A^t = 2 & 4 & -2 -1 & 0 & 1 3 & 1 & 5
  1. Inversa de A^t , (A^t)^-1
Para encontrar a inversa, usamos a fórmula para matrizes 3x3 ou métodos como a matriz adjunta. Vamos assumir que A^t é inversível.
  1. Transposta de B , B^t :
B^t = 1 & 3 & 0 0 & 2 & -1 -1 & 1 & 4

Passo 7

Vamos calcular (A^t)^-1 . Primeiro, encontramos o determinante de A^t .
det(A^t) = det(A) = det 2 & -1 & 3 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 5
Calculando o determinante:
det(A) = 2 cdot (0 cdot 5 - 1 cdot 1) - (-1) cdot (4 cdot 5 - 1 cdot (-2)) + 3 cdot (4 cdot 1 - 0 cdot (-2))
= 2 cdot (0 -1) - (-1) cdot (20 +2) + 3 cdot (4 -0)
= 2 cdot (-1) +1 cdot 22 + 3 cdot 4
= -2 +22 +12 = 32
Então, det(A^t) = 32 , que é diferente de zero, logo A^t é inversível.

Passo 8

Agora, vamos calcular a matriz inversa (A^t)^-1 . Para uma matriz 3x3:
(A^t)^-1 = 1det(A^t) cdot Adj(A^t)
Onde Adj(A^t) é a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores.
Devido à complexidade do cálculo manual, vamos considerar que já calculamos (A^t)^-1 :
(A^t)^-1 = 132 (0 cdot 5 -1 cdot 1) & -(4 cdot 5 -1 cdot (-2)) & (4 cdot 1 -0 cdot (-2)) -((-1) cdot 5 -3 cdot 1) & (2 cdot 5 -3 cdot (-2)) & -(2 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) ((-1) cdot1 -0 cdot3) & -(2 cdot1 -4 cdot3) & (2 cdot0 -4 cdot (-1))
= 132 -1 & -(20 +2) & 4 -(-5 -3) & 10 +6 & -(2 -2) -1 & -(2 -12) & 0 +4
= 132 -1 & -22 & 4 8 & 16 & 0 -1 & 10 & 4

Passo 9

Finalmente, calculamos X = (A^t)^-1 cdot B^t :
X = 132 -1 & -22 & 4 8 & 16 & 0 -1 & 10 & 4 cdot 1 & 3 & 0 0 & 2 & -1 -1 & 1 & 4
Vamos multiplicar as matrizes:
  1. X_{11}:
(-1)(1) + (-22)(0) + 4(-1) = -1 +0 -4 = -5
  1. X_{12}:
(-1)(3) + (-22)(2) + 4(1) = -3 -44 +4 = -43
  1. X_{13}:
(-1)(0) + (-22)(-1) + 4(4) =0 +22 +16 =38
  1. X_{21}:
8(1) +16(0) +0(-1) =8 +0 +0 =8
  1. X_{22}:
8(3) +16(2) +0(1) =24 +32 +0 =56
  1. X_{23}:
8(0) +16(-1) +0(4) =0 -16 +0 =-16
  1. X_{31}:
-1(1) +10(0) +4(-1) =-1 +0 -4 =-5
  1. X_{32}:
-1(3) +10(2) +4(1) =-3 +20 +4 =21
  1. X_{33}:
-1(0) +10(-1) +4(4) =0 -10 +16 =6
Então,
X = 132 -5 & -43 & 38 8 &56 & -16 -5 &21 &6

Resposta

a) O produto A cdot B é:
A cdot B = -1 & -5 & 9 4 & -1 & 0 1 & -3 & 23
b) A matriz X que satisfaz a equação dada é:
X = 132 -5 & -43 & 38 8 &56 & -16 -5 &21 &6

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