Questão 1. (Valor 2,0) Considere as matrizes e determine:
a) A.B
b) Determine, se possível, a matriz X tal que (A^t cdot X)^-1-(B^-1)^t=0.
Passo 1
Vamos resolver a Questão 1, que envolve operações com matrizes. O enunciado nos dá duas matrizes, A e B , e pede para:
a) Calcular o produto A cdot B .
b) Encontrar, se possível, a matriz X que satisfaz a equação (A^t cdot X)^-1 - (B^-1)^t = 0 .
Para resolver essas partes, vamos precisar entender como multiplicar matrizes, calcular transpostas, inversas de matrizes e manipular essas operações.
Passo 2
Parte a) Calcular A cdot B
Primeiro, vamos multiplicar as matrizes A e B . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somando os produtos.
Matriz A :
A = 2 & -1 & 3 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 5
Matriz B :
B = 1 & 0 & -1 3 & 2 & 1 0 & -1 & 4
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante C = A cdot B .
Passo 3
Para calcular a posição (i,j) da matriz C , multiplicamos a linha i de A pela coluna j de B e somamos os produtos:
Cij = sumk=1^3 Aik cdot Bkj
Vamos calcular elemento por elemento:
C_{11}:
C11 = (2)(1) + (-1)(3) + (3)(0) = 2 - 3 + 0 = -1
C_{12}:
C12 = (2)(0) + (-1)(2) + (3)(-1) = 0 - 2 - 3 = -5
C_{13}:
C13 = (2)(-1) + (-1)(1) + (3)(4) = -2 -1 +12 = 9
C_{21}:
C21 = (4)(1) + (0)(3) + (1)(0) = 4 + 0 + 0 = 4
C_{22}:
C22 = (4)(0) + (0)(2) + (1)(-1) = 0 + 0 -1 = -1
C_{23}:
C23 = (4)(-1) + (0)(1) + (1)(4) = -4 + 0 +4 = 0
C_{31}:
C31 = (-2)(1) + (1)(3) + (5)(0) = -2 +3 +0 = 1
C_{32}:
C32 = (-2)(0) + (1)(2) + (5)(-1) = 0 +2 -5 = -3
C_{33}:
C33 = (-2)(-1) + (1)(1) + (5)(4) = 2 +1 +20 = 23
Passo 4
Agora, organizamos os elementos calculados na matriz C :
C = A cdot B = -1 & -5 & 9 4 & -1 & 0 1 & -3 & 23
Passo 5
Parte b) Determinar a matriz X tal que (A^t cdot X)^-1 - (B^-1)^t = 0
Primeiro, vamos entender a equação:
(A^t cdot X)^-1 = (B^-1)^t
Isso significa que a inversa do produto da transposta de A com X é igual à transposta da inversa de B .
Vamos reorganizar a equação para encontrar X :
(A^t cdot X)^-1 = (B^-1)^t
Inverter ambos os lados:
A^t cdot X = ((B^-1)^t)^-1
Sabemos que (M^-1)^t = (M^t)^-1 . Então:
((B^-1)^t)^-1 = ((B^t)^-1)^-1 = B^t
Portanto:
A^t cdot X = B^t
Para encontrar X , multiplicamos ambos os lados por (A^t)^-1 :
X = (A^t)^-1 cdot B^t
Passo 6
Agora, vamos calcular cada parte:
Transposta de A , A^t :
A^t = 2 & 4 & -2 -1 & 0 & 1 3 & 1 & 5
Inversa de A^t , (A^t)^-1
Para encontrar a inversa, usamos a fórmula para matrizes 3x3 ou métodos como a matriz adjunta. Vamos assumir que A^t é inversível.
Transposta de B , B^t :
B^t = 1 & 3 & 0 0 & 2 & -1 -1 & 1 & 4
Passo 7
Vamos calcular (A^t)^-1 . Primeiro, encontramos o determinante de A^t .