Questão 3. (Valor (2 , 0) Resolva os sistemas abaixo, por escalonamento, determinando seu conjunto solução, e classifique -os.
lx+y+2 z=4 2 x-3 y+z=0 5 x-y-z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando escalonamento. A matéria que estamos trabalhando aqui é sistemas lineares, e para resolver isso, vamos precisar transformar as equações numa forma que fique mais fácil de encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações em forma de matriz aumentada. Isso ajuda a organizar os coeficientes e os termos constantes das equações. Nosso sistema é:
x + y + 2z = 4 2x - 3y + z = 0 5x - y - z = 3
A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 2 & | & 4 2 & -3 & 1 & | & 0 5 & -1 & -1 & | & 3

Passo 3

Agora, vamos usar operações elementares de linhas para transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde conseguimos facilmente resolver para as variáveis. Primeiro, queremos que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está feito.

Passo 4

Vamos eliminar o x das outras duas linhas. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 5 vezes a primeira linha da terceira linha.
Linha 2: 2 - 2 times 1 = 0, -3 - 2 times 1 = -5, 1 - 2 times 2 = -3, 0 - 2 times 4 = -8
Linha 3: 5 - 5 times 1 = 0, -1 - 5 times 1 = -6, -1 - 5 times 2 = -11, 3 - 5 times 4 = -17
A matriz fica assim:
1 & 1 & 2 & | & 4 0 & -5 & -3 & | & -8 0 & -6 & -11 & | & -17

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por -5 para facilitar:
Linha 2: 0-5 = 0, -5-5 = 1, -3-5 = 35, -8-5 = 85
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & | & 4 0 & 1 & 35 & | & 85 0 & -6 & -11 & | & -17

Passo 6

Agora, vamos eliminar o y da terceira linha. Para isso, adicionamos 6 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3: 0 + 6 times 0 = 0, -6 + 6 times 1 = 0, -11 + 6 times 35 = -11 + 185 = -375, -17 + 6 times 85 = -17 + 485 = -375
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & | & 4 0 & 1 & 35 & | & 85 0 & 0 & -375 & | & -375

Passo 7

Agora, podemos resolver para z diretamente da terceira linha:
-375 z = -375
Dividindo ambos os lados por -375:
z = 1

Passo 8

Com z = 1, vamos substituir na segunda linha para encontrar y:
y + 35(1) = 85 y + 35 = 85 y = 85 - 35 y = 1

Passo 9

Agora, com y = 1 e z = 1, vamos substituir na primeira linha para encontrar x:
x + 1 + 2(1) = 4 x + 1 + 2 = 4 x + 3 = 4 x = 1

Resposta

A solução do sistema é x = 1, y = 1 e z = 1. O conjunto solução é (1, 1, 1) e o sistema é classificado como independente e determinado, pois possui uma única solução.

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