Questão 1

Sejam duas esferas constituídas de chumbo. Uma das esferas é maciça e possui raio R. A segunda esfera possui raio externo R e contém uma cavidade de raio interno r, cavidade esta preenchida com ar (a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm ). Nessas condições,
a) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera maciça?
b) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera com cavidade de raio r ?
c) Qual é a razão entre as massas, respectivamente, da esfera maciça e da esfera com cavidade?

Passo 1

O enunciado dá duas esferas feitas de chumbo:
  • Esfera 1: maciça, raio R.
  • Esfera 2: raio externo R e contém uma cavidade esférica interna de raio r; a cavidade está preenchida com ar a 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}.
O que se pede:
  1. (a) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera maciça?
  2. (b) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera com cavidade de raio r?
  3. (c) Qual é a razão entre as massas da esfera maciça e da esfera com cavidade?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Raio externo de ambas as esferas: R.
  • Raio da cavidade: r.
  • Materiais: chumbo (para as partes sólidas) e ar (preenchendo a cavidade) nas condições dadas.
  • Não foi fornecida numericamente a densidade do chumbo; vou usar o símbolo \rho_{\text{Pb}} para a densidade do chumbo.
  • A densidade do ar pode ser obtida pelas condições fornecidas usando a equação dos gases ideais; vou calcular \rho_{\text{ar}} a partir de p, T e massa molar média do ar.

Passo 2

Fórmula do volume de uma esfera — pequena aula prática:
  • A fórmula do volume de uma esfera de raio a é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi a^{3}.
Expliquei por que: essa é a fórmula geométrica padrão; a é o raio da esfera e V é o espaço tridimensional ocupado por ela. Não precisa memorizar via cálculo de integrais agora, só lembre-se da forma cúbica do raio e do prefator \tfrac{4}{3}\pi.
Aplicação direta:
  • Volume da esfera maciça (raio R):
V_{\text{maciça}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.ç
  • Volume da cavidade (raio r):
V_{\text{cavidade}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Volume do material de chumbo na esfera com cavidade é a diferença entre o volume externo e o da cavidade:
V_{\text{chumbo, cavidade}}=\frac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr).

Passo 3

Como calcular massas — conceitos e fórmula:
  • Massa de um corpo homogêneo é densidade vezes volume. Se \rho é a densidade (massa por unidade de volume) e V o volume, então
m=\rho V.
Aqui usamos \rho_{\text{Pb}} para a densidade do chumbo e \rho_{\text{ar}} para a densidade do ar (no interior da cavidade).
Massa da esfera maciça:
  • Volume já encontrado V_{\text{maciça}}=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}ç.
  • Portanto a massa da esfera maciça é
m_{\text{maciça}}=\rho_{\text{Pb}}\; \frac{4}{3}\pi R^{3}.ç
Explanação: multiplica-se o volume do chumbo pela densidade do chumbo; isso dá quantos quilogramas (ou qualquer unidade) de chumbo estão ali.

Passo 4

Massa da esfera com cavidade — atenção ao ar dentro da cavidade:
  • O corpo total tem duas contribuições de massa:
    1. Massa do chumbo (casca): \rho_{\text{Pb}} vezes o volume de chumbo \dfrac{4}{3}\pi(R^{3}-r^{3}).
    2. Massa do ar dentro da cavidade: \rho_{\text{ar}} vezes \dfrac{4}{3}\pi r^{3}.
Logo a massa total da esfera com cavidade é
m_{\text{com cavidade}}=\rho_{\text{Pb}}\; \frac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr)\;+\;\rho_{\text{ar}}\; \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Isto pode ser escrito de forma compacta:
m_{\text{com cavidade}}=\frac{4}{3}\pi\!\left[\rho_{\text{Pb}}\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr)+\rho_{\text{ar}}\,r^{3}\right].

Passo 5

Cálculo (prático) da densidade do ar nas condições dadas — mini-aula sobre gás ideal:
  • Pela equação dos gases ideais por unidade de volume, a densidade de uma mistura gasosa pode ser obtida por
\rho_{\text{ar}}=\frac{p\,M}{R_u\,T},
onde:
  • p é a pressão absoluta (em Pa),
  • M é a massa molar média do ar (em kg/mol), aproximadamente M\approx 0{,}029\\ \mathrm{kg/mol},
  • R_u é a constante dos gases ideais R_u=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Usando p=101325\\ \mathrm{Pa} (1 atm) e T=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}:
\rho_{\text{ar}}=\frac{101325\times 0{,}029}{8{,}314\times 293{,}15}\approx 1{,}205\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Comentário prático: esse valor é típico (aprox. 1{,}20\\ \mathrm{kg/m^3}) e mostra que a massa de ar na cavidade é muito pequena em comparação com a massa do chumbo.

Passo 6

Razão entre as massas — dedução final e forma simplificada:
  • A razão pedida é
\frac{m_{\text{maciça}}}{m_{\text{com cavidade}}} = \frac{\rho_{\text{Pb}}\;\dfrac{4}{3}\pi R^{3}} {\dfrac{4}{3}\pi\!\left[\rho_{\text{Pb}}(R^{3}-r^{3})+\rho_{\text{ar}}\,r^{3}\right]} = \frac{\rho_{\text{Pb}}\,R^{3}}{\rho_{\text{Pb}}(R^{3}-r^{3})+\rho_{\text{ar}}\,r^{3}}.ç
  • Observação útil para prova: como \rho_{\text{ar}}\ll\rho_{\text{Pb}}, se você puder desprezar a massa do ar, a razão aproxima-se de
\frac{m_{\text{maciça}}}{m_{\text{com cavidade}}}\approx \frac{R^{3}}{R^{3}-r^{3}}.ç
Isto é prático quando se pede um resultado mais simples e a questão não exige incluir a massa do ar.

Resposta

(a) V_{\text{maciça}}=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}ç, \quad m_{\text{maciça}}=\rho_{\text{Pb}}\;\dfrac{4}{3}\pi R^{3}ç.\n
(b) V_{\text{chumbo, com cavidade}}=\dfrac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr), \quad m_{\text{com cavidade}}=\dfrac{4}{3}\pi\!\left[\rho_{\text{Pb}}\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr)+\rho_{\text{ar}}\,r^{3}\right] com \rho_{\text{ar}}\approx 1{,}205\\ \mathrm{kg/m^{3}} a 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}.\n
(c) \displaystyle \frac{m_{\text{maciça}}}{m_{\text{com cavidade}}}=\frac{\rho_{\text{Pb}}\,R^{3}}{\rho_{\text{Pb}}(R^{3}-r^{3})+\rho_{\text{ar}}\,r^{3}}ç (aprox. \dfrac{R^{3}}{R^{3}-r^{3}} se desprezarmos a massa do ar).

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