Questão 1
Sejam duas esferas constituídas de chumbo. Uma das esferas é maciça e possui raio
. A segunda esfera possui raio externo
e contém uma cavidade de raio interno
, cavidade esta preenchida com ar (a
e 1 atm ). Nessas condições,
a) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera maciça?
b) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera com cavidade de raio
?
c) Qual é a razão entre as massas, respectivamente, da esfera maciça e da esfera com cavidade?
a) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera maciça?
b) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera com cavidade de raio
c) Qual é a razão entre as massas, respectivamente, da esfera maciça e da esfera com cavidade?
Passo 1
O enunciado dá duas esferas feitas de chumbo:
- Esfera 1: maciça, raio
. - Esfera 2: raio externo
e contém uma cavidade esférica interna de raio ; a cavidade está preenchida com ar a e .
O que se pede:
- (a) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera maciça?
- (b) Quais são o volume e a massa, respectivamente, da esfera com cavidade de raio
? - (c) Qual é a razão entre as massas da esfera maciça e da esfera com cavidade?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Raio externo de ambas as esferas:
. - Raio da cavidade:
. - Materiais: chumbo (para as partes sólidas) e ar (preenchendo a cavidade) nas condições dadas.
- Não foi fornecida numericamente a densidade do chumbo; vou usar o símbolo
para a densidade do chumbo. - A densidade do ar pode ser obtida pelas condições fornecidas usando a equação dos gases ideais; vou calcular
a partir de , e massa molar média do ar.
Passo 2
Fórmula do volume de uma esfera — pequena aula prática:
- A fórmula do volume de uma esfera de raio
é
Expliquei por que: essa é a fórmula geométrica padrão;
é o raio da esfera e
é o espaço tridimensional ocupado por ela. Não precisa memorizar via cálculo de integrais agora, só lembre-se da forma cúbica do raio e do prefator
.
Aplicação direta:
- Volume da esfera maciça (raio
):
- Volume da cavidade (raio
):
- Volume do material de chumbo na esfera com cavidade é a diferença entre o volume externo e o da cavidade:
Passo 3
Como calcular massas — conceitos e fórmula:
- Massa de um corpo homogêneo é densidade vezes volume. Se
é a densidade (massa por unidade de volume) e o volume, então
Aqui usamos
para a densidade do chumbo e
para a densidade do ar (no interior da cavidade).
Massa da esfera maciça:
- Volume já encontrado
. - Portanto a massa da esfera maciça é
Explanação: multiplica-se o volume do chumbo pela densidade do chumbo; isso dá quantos quilogramas (ou qualquer unidade) de chumbo estão ali.
Passo 4
Massa da esfera com cavidade — atenção ao ar dentro da cavidade:
- O corpo total tem duas contribuições de massa:
- Massa do chumbo (casca):
vezes o volume de chumbo . - Massa do ar dentro da cavidade:
vezes .
- Massa do chumbo (casca):
Logo a massa total da esfera com cavidade é
Isto pode ser escrito de forma compacta:
Passo 5
Cálculo (prático) da densidade do ar nas condições dadas — mini-aula sobre gás ideal:
- Pela equação dos gases ideais por unidade de volume, a densidade de uma mistura gasosa pode ser obtida por
onde:
-
é a pressão absoluta (em Pa), -
é a massa molar média do ar (em kg/mol), aproximadamente , -
é a constante dos gases ideais , -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Usando
(1 atm) e
:
Comentário prático: esse valor é típico (aprox.
) e mostra que a massa de ar na cavidade é muito pequena em comparação com a massa do chumbo.
Passo 6
Razão entre as massas — dedução final e forma simplificada:
- A razão pedida é
- Observação útil para prova: como
, se você puder desprezar a massa do ar, a razão aproxima-se de
Isto é prático quando se pede um resultado mais simples e a questão não exige incluir a massa do ar.
Resposta
(a)
, \quad
.\n
(b) , \quad
com
a
e
.\n
(c) (aprox.
se desprezarmos a massa do ar).
(b)
(c)