Seja (K, +,
) um corpo. Mostre que:
Se
e
são elementos de
que satisfazem:
então
. Em outras palavras, um corpo possui uma única unidade, que é denotada por 1.
Se
Passo 1
Nesse exercício, queremos mostrar que a unidade multiplicativa de um corpo é única. Ou seja, se dois elementos
e
satisfazem a propriedade de identidade
e
para todo
, então precisamos provar que
. Vamos usar os axiomas de corpo, em especial a existência da identidade e a comutatividade da multiplicação.
Passo 2
Como
é identidade para todos os elementos, podemos substituir
em
. Do mesmo modo, como
é identidade, substituímos
em
. Assim, obtemos as duas igualdades:
Passo 3
Pela comutatividade da multiplicação no corpo, temos
Passo 4
Comparando as expressões, de um lado
e de outro
. Como são iguais, segue que
.