Seja (K, +, cdot ) um corpo. Mostre que:
Se x1 e x2 são elementos de K que satisfazem:
x1 cdot x=x e x2 cdot x=x, forall x in K,
então x1=x2. Em outras palavras, um corpo possui uma única unidade, que é denotada por 1.

Passo 1

Nesse exercício, queremos mostrar que a unidade multiplicativa de um corpo é única. Ou seja, se dois elementos x1 e x2 satisfazem a propriedade de identidade x1cdot x = x e x2cdot x = x para todo xinK, então precisamos provar que x1 = x2. Vamos usar os axiomas de corpo, em especial a existência da identidade e a comutatividade da multiplicação.

Passo 2

Como x2 é identidade para todos os elementos, podemos substituir x = x1 em x2cdot x = x. Do mesmo modo, como x1 é identidade, substituímos x = x2 em x1cdot x = x. Assim, obtemos as duas igualdades:
x2 cdot x1 = x1,
x1 cdot x2 = x2

Passo 3

Pela comutatividade da multiplicação no corpo, temos
x1 cdot x2 = x2 cdot x1

Passo 4

Comparando as expressões, de um lado x1 cdot x2 = x2 e de outro x2 cdot x1 = x1. Como são iguais, segue que x1 = x2.

Resposta

x1 = x2

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