Questão 4 Sejam T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right), G=\{(1,2),(0,1)\} base de \mathbb{R}^{2} e[T]_{G}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right).
(a) Determine T(x, y);
(b) Determine T(0,0).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e a matriz de T na base G=\{(1,2),(0,1)\},
[T]_{G} = \begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Queremos (a) a fórmula de T(x,y) em coordenadas canônicas e (b) o valor de T(0,0).

Passo 2

Para achar T(x,y) precisamos primeiro expressar (x,y) em coordenadas na base G. Escrevemos
(x,y) = a\,(1,2) + b\,(0,1)
e portanto
x = a,\quad y = 2a + b.
Daí vêm
a = x,\quad b = y - 2x.
Assim o vetor (x,y) tem coordenadas em G dadas por
[\,v\,]_{G} = \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\y-2x\end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos a matriz [T]_{G} para obter as coordenadas de T(v) em G:
[\,T(v)\,]_{G} = [T]_{G}\,[\,v\,]_{G} = \begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y-2x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x - (y-2x)\y-2x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4x - y\y - 2x\end{pmatrix}.

Passo 4

Para voltar à base canônica, escrevemos
T(x,y) = (4x - y)\,(1,2) + (y - 2x)\,(0,1).
Calculando componente a componente,
T(x,y) = \bigl(4x - y,\;2(4x - y)\bigr) + \bigl(0,\;y - 2x\bigr) = \bigl(4x - y,\;8x - 2y + y - 2x\bigr) = \bigl(4x - y,\;6x - y\bigr).

Passo 5

Basta substituir (x,y)=(0,0) na expressão encontrada:
T(0,0) = \bigl(4\cdot0 - 0,\;6\cdot0 - 0\bigr) = (0,0).

Resposta

(a) T(x,y) = (4x - y,\;6x - y).
(b) T(0,0) = (0,0).

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