Questão 3 Verifique se as funções
são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de
. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
.
Passo 1
O enunciado define
,
e
Precisamos verificar se
é linear e, em caso afirmativo, calcular o posto e a nulidade de
.
Passo 2
Para verificar a linearidade, note que para quaisquer
e
valem
Logo,
é linear.
Passo 3
O núcleo de
é
isto é, o subespaço das matrizes simétricas de ordem
. A dimensão desse espaço é
Portanto, a nulidade de
é
.
Passo 4
A imagem de
é
isto é, o subespaço das matrizes antissimétricas de ordem
. A dimensão desse espaço é
Logo, o posto de
é
.
Resposta
posto
nulidade