Questão 3 Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=M_{5 \times 5}(\mathbb{R}), \tilde{V}=M_{5 \times 5}(\mathbb{R}), T(A)=A^{t}-A.

Passo 1

O enunciado define V = M_{5\times5}(\mathbb{R}), \tilde V = M_{5\times5}(\mathbb{R}) e
T(A) = A^{t} - A.
Precisamos verificar se T é linear e, em caso afirmativo, calcular o posto e a nulidade de T.

Passo 2

Para verificar a linearidade, note que para quaisquer A,B\in V e c\in\mathbb{R} valem
T(A+B) = (A+B)^{t} - (A+B) = A^{t} + B^{t} - A - B = T(A) + T(B),
T(cA) = (cA)^{t} - cA = cA^{t} - cA = c\,T(A).
Logo, T é linear.

Passo 3

O núcleo de T é
\ker(T) = \{A\in V \mid T(A)=0\} = \{A\mid A^{t}-A=0\} = \{A\mid A^{t}=A\},
isto é, o subespaço das matrizes simétricas de ordem 5. A dimensão desse espaço é
\dim\ker(T) = \frac{5\,(5+1)}{2} = 15.
Portanto, a nulidade de T é 15.

Passo 4

A imagem de T é
\operatorname{Im}(T) = \{A^{t}-A\mid A\in V\},
isto é, o subespaço das matrizes antissimétricas de ordem 5. A dimensão desse espaço é
\dim\operatorname{Im}(T) = \frac{5\,(5-1)}{2} = 10.
Logo, o posto de T é 10.

Resposta

T é transformação linear.
posto (T)=10
nulidade (T)=15

Exercícios relacionados