Questão 3 Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=\mathbb{R}^{2}, \tilde{V}=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), T(a, b)=\cos (a) x^{2}+\operatorname{sen}(b) x;

Passo 1

O enunciado define V=\mathbb{R}^2, \tilde V=\mathcal{P}_2(\mathbb{R}) e
T(a,b)=\cos(a)\,x^2+\sin(b)\,x.
Para ser linear, T teria que satisfazer aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Contra-exemplo de homogeneidade: tomando (a,b)=(\pi,0)
T(2\pi,0)=\cos(2\pi)x^2= x^2,\quad 2\,T(\pi,0)=2\,\cos(\pi)x^2=-2x^2,
logo T(2(\pi,0))\neq 2T(\pi,0), ou seja, T não é linear.

Resposta

T não é transformação linear.

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