Questão 5 Verifique se os conjuntos I \subseteq \mathbb{R}[X] são ideiais de polinômios. Caso negativo, justifique ou dê contra-exemplo. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
I=\{p \in \mathbb{R}[X] ; p(A)=0\} com A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -1 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado define \displaystyle I=\{p\in\mathbb{R}[X]\mid p(A)=0\} com \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&2\end{pmatrix}.
Queremos saber se I é um ideal de \mathbb{R}[X].

Passo 2

Considere o homomorfismo de anéis \displaystyle \varphi:\mathbb{R}[X]\to M_{2}(\mathbb{R}) dado por \varphi(p)=p(A).
Então \displaystyle I=\ker\varphi,
e o núcleo de qualquer homomorfismo de anéis é um ideal.

Resposta

I é um ideal de \mathbb{R}[X].

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