Questão: Sendo
um vetor no espaço, determine os vetores
e
que cumprem as seguintes exigências:
e
são ortogonais ao eixo
;
Passo 1
O enunciado dá o vetor
) no espaço e pede para determinar vetores
) e
) que satisfaçam a exigência:
) e
) são ortogonais ao eixo
. Informações relevantes fornecidas:
- O vetor dado é ).
- A única condição a satisfazer pelos vetores procurados é que eles sejam ortogonais ao eixo
. - Não há outras restrições (como norma, ortogonalidade entre
e , ou relação com ) especificadas no enunciado.
Passo 2
Entendendo o que significa "ortogonal ao eixo
".
- O eixo
é a reta que aponta na direção do vetor unitário ). Isso significa que, geometricamente, sendo ortogonal ao eixo um vetor tem que ser perpendicular a qualquer vetor paralelo a ). - Em álgebra vetorial, “perpendicular” é verificado pelo produto escalar (ou “produto interno”). Vou explicar isso com calma abaixo.
Passo 3
Definição e fórmula do produto escalar em
.
- Dados dois vetores ) e ), o produto escalar (ou dot product) é
- Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero:
- Aqui vamos aplicar isso ao caso de vetores que devem ser ortogonais a ).
Passo 4
Aplicando o produto escalar com
).
- Seja um vetor genérico ). Então
- Para que
seja ortogonal ao eixo (isto é, ortogonal a )), precisamos de
- Conclusão prática: qualquer vetor da forma
) é ortogonal ao eixo
.
Passo 5
Interpretação e exemplos.
- A condição
deixa infinitas possibilidades: podemos escolher e arbitrários (não ambos zero se quisermos um vetor não-nulo). - Exemplos simples e canônicos que costumam aparecer em provas são os vetores das direções
e , que têm as componentes:
) e ). Ambos satisfazem, então são ortogonais ao eixo .
Passo 6
Escolhendo
) e
) concretos e verificando.
- Vou tomar como escolhas simples e bem didáticas:
- Verificação usando produto escalar com ):
- Como ambos os produtos escalares são zero, os vetores escolhidos são de fato ortogonais ao eixo
.
Passo 7
Observações finais e incentivo.
- Note que existem infinitas respostas; qualquer par de vetores da forma ) serve. Eu escolhi ) e ) porque são simples e fáceis de verificar na prova.
- Se quiser, dá pra normalizar (tornar unitários) ou escolher outros exemplos dependendo do que o professor peça, mas o passo-chave é sempre: produto escalar com ) deve ser zero.