Questão: Sendo u=(0,4,2) um vetor no espaço, determine os vetores v_{1} e v_{2} que cumprem as seguintes exigências:
v_{1} e v_{2} são ortogonais ao eixo O Y;

Passo 1

O enunciado dá o vetor \(u=(0,4,2)) no espaço e pede para determinar vetores \(v_{1}) e \(v_{2}) que satisfaçam a exigência: \(v_{1}) e \(v_{2}) são ortogonais ao eixo OY. Informações relevantes fornecidas:
  • O vetor dado é \(u=(0,4,2)).
  • A única condição a satisfazer pelos vetores procurados é que eles sejam ortogonais ao eixo OY.
  • Não há outras restrições (como norma, ortogonalidade entre v_1 e v_2, ou relação com u) especificadas no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que significa "ortogonal ao eixo OY".
  • O eixo OY é a reta que aponta na direção do vetor unitário \(e_{y}=(0,1,0)). Isso significa que, geometricamente, sendo ortogonal ao eixo OY um vetor tem que ser perpendicular a qualquer vetor paralelo a \(e_y).
  • Em álgebra vetorial, “perpendicular” é verificado pelo produto escalar (ou “produto interno”). Vou explicar isso com calma abaixo.

Passo 3

Definição e fórmula do produto escalar em \mathbb{R}^3.
  • Dados dois vetores \(a=(a_1,a_2,a_3)) e \(b=(b_1,b_2,b_3)), o produto escalar (ou dot product) é
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
  • Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero:
a\perp b \quad\Longleftrightarrow\quad a\cdot b = 0.
  • Aqui vamos aplicar isso ao caso de vetores que devem ser ortogonais a \(e_y=(0,1,0)).

Passo 4

Aplicando o produto escalar com \(e_y).
  • Seja um vetor genérico \(v=(x,y,z)). Então
v\cdot e_y = x\cdot 0 + y\cdot 1 + z\cdot 0 = y.
  • Para que v seja ortogonal ao eixo OY (isto é, ortogonal a \(e_y)), precisamos de
v\cdot e_y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.
  • Conclusão prática: qualquer vetor da forma \(v=(x,0,z)) é ortogonal ao eixo OY.

Passo 5

Interpretação e exemplos.
  • A condição y=0 deixa infinitas possibilidades: podemos escolher x e z arbitrários (não ambos zero se quisermos um vetor não-nulo).
  • Exemplos simples e canônicos que costumam aparecer em provas são os vetores das direções OX e OZ, que têm as componentes:
    \(e_x=(1,0,0)) e \(e_z=(0,0,1)). Ambos satisfazem y=0, então são ortogonais ao eixo OY.

Passo 6

Escolhendo \(v_1) e \(v_2) concretos e verificando.
  • Vou tomar como escolhas simples e bem didáticas:
\mathbf{v}_1 = (1,0,0),\qquad \mathbf{v}_2 = (0,0,1).
  • Verificação usando produto escalar com \(e_y):
\mathbf{v}_1\cdot e_y = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 0,
\mathbf{v}_2\cdot e_y = 0\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0.
  • Como ambos os produtos escalares são zero, os vetores escolhidos são de fato ortogonais ao eixo OY.

Passo 7

Observações finais e incentivo.
  • Note que existem infinitas respostas; qualquer par de vetores da forma \((x,0,z)) serve. Eu escolhi \((1,0,0)) e \((0,0,1)) porque são simples e fáceis de verificar na prova.
  • Se quiser, dá pra normalizar (tornar unitários) ou escolher outros exemplos dependendo do que o professor peça, mas o passo-chave é sempre: produto escalar com \(e_y) deve ser zero.

Resposta

\mathbf{v}_1=(1,0,0)
\mathbf{v}_2=(0,0,1)

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