Questão 7. (Série de Taylor) Calcule o polinômio de Taylor de grau 4 de f(x)=e^{x} em torno de a=1. Em seguida, use a forma de Lagrange do resto para estimar o erro em x=1,2. Indique claramente o majorante utilizado para \left|f^{(5)}(\xi)\right|.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 4 de f(x)=e^x em torno de a=1 e, em seguida, a estimativa do erro em x=1,2 usando a forma de Lagrange do resto. Vamos usar derivadas de e^x, a fórmula de Taylor e um majorante para \bigl|f^{(5)}(\xi)\bigr|.
Passo 2
Como f(x)=e^x, todas as derivadas satisfazem f^{(k)}(x)=e^x. Em particular,
f^{(k)}(1)=e^1=e\quad(k=0,1,2,3,4).
Pelo polinômio de Taylor de grau 4 em torno de a=1,