Questão 7. (Série de Taylor) Calcule o polinômio de Taylor de grau 4 de f(x)=e^{x} em torno de a=1. Em seguida, use a forma de Lagrange do resto para estimar o erro em x=1,2. Indique claramente o majorante utilizado para \left|f^{(5)}(\xi)\right|.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 4 de f(x)=e^x em torno de a=1 e, em seguida, a estimativa do erro em x=1,2 usando a forma de Lagrange do resto. Vamos usar derivadas de e^x, a fórmula de Taylor e um majorante para \bigl|f^{(5)}(\xi)\bigr|.

Passo 2

Como f(x)=e^x, todas as derivadas satisfazem f^{(k)}(x)=e^x. Em particular,
f^{(k)}(1)=e^1=e\quad(k=0,1,2,3,4).
Pelo polinômio de Taylor de grau 4 em torno de a=1,
T_4(x) =\sum_{k=0}^{4}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k =e\biggl(1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\frac{(x-1)^4}{4!}\biggr).

Passo 3

A forma de Lagrange do resto diz que, para algum \xi entre 1 e x,
R_4(x) =\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}(x-1)^5 =\frac{e^{\xi}}{5!}(x-1)^5.

Passo 4

Como x=1,2, o ponto \xi fica em [1,1,2]. Logo
\bigl|f^{(5)}(\xi)\bigr|=e^{\xi}\le e^{1,2}.
Esse e^{1,2} é o majorante M que utilizaremos.

Passo 5

Em x=1,2 temos |x-1|=0,2, então
|R_4(1,2)|\le \frac{M}{5!}(0,2)^5 =\frac{e^{1,2}}{120}\cdot 0,00032 =2{,}6667\times10^{-6}\,e^{1,2} \approx 8{,}9\times10^{-6}.

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 4 é
T_4(x) =e\Bigl(1+(x-1)+\tfrac{(x-1)^2}{2!}+\tfrac{(x-1)^3}{3!}+\tfrac{(x-1)^4}{4!}\Bigr),
e o erro em x=1,2 satisfaz
|R_4(1,2)|\le \frac{e^{1,2}}{5!}(0,2)^5 \approx 8{,}9\times10^{-6},
usando o majorante \bigl|f^{(5)}(\xi)\bigr|\le e^{1,2}.

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