Questão 6. (Séries de potências) Determine o raio e o intervalo de convergência de
Discuta a convergência nos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
com
. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois testar os pontos extremos.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão aos coeficientes
. Calculamos
Pelo teste da razão, o raio de convergência é
Passo 3
A condição de convergência é
que equivale ao intervalo aberto
Passo 4
Em
temos
, então os termos gerais viram
Como
não é zero (de fato
), a série diverge pelo critério da divergência.
Passo 5
Em
temos
, de modo que
Como
, a série também diverge pelo critério da divergência.
Resposta
O raio de convergência é
.
O intervalo de convergência é , e a série diverge em
e em
.
O intervalo de convergência é