Questão 6. (Séries de potências) Determine o raio e o intervalo de convergência de
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}(x+2)^{n} .
Discuta a convergência nos pontos x=-5 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x_{0}=-2:
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x+2)^{n},
com a_{n}=\frac{n}{3^{n}}. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois testar os pontos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão aos coeficientes a_{n}=\frac{n}{3^{n}}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)/3^{\,n+1}}{n/3^{\,n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{3}.
Pelo teste da razão, o raio de convergência é
R=\frac{1}{\tfrac{1}{3}}=3.

Passo 3

A condição de convergência é
|x+2|<R\quad\Longrightarrow\quad|x+2|<3
que equivale ao intervalo aberto
-5<x<1.

Passo 4

Em x=-5 temos x+2=-3, então os termos gerais viram
u_{n}=\frac{n}{3^{n}}(-3)^{n}=n\,(-1)^{n}.
Como \lim_{n\to\infty}u_{n} não é zero (de fato |u_{n}|=n\to\infty), a série diverge pelo critério da divergência.

Passo 5

Em x=1 temos x+2=3, de modo que
u_{n}=\frac{n}{3^{n}}\;3^{n}=n.
Como u_{n}=n\not\to0, a série também diverge pelo critério da divergência.

Resposta

O raio de convergência é R=3.
O intervalo de convergência é (-5,1), e a série diverge em x=-5 e em x=1.

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