Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
\tan x-\frac{\sin x}{\cos x}.

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão
\tan x - \frac{\sin x}{\cos x}.
Informações dadas e observações importantes: a expressão envolve funções trigonométricas \sin x, \cos x e \tan x. Note que onde \cos x = 0 as frações \frac{\sin x}{\cos x} e \tan x não estão definidas, então qualquer simplificação algébrica só vale diretamente quando \cos x \neq 0. A partir daqui vamos simplificar passo a passo.

Passo 2

Lembrete útil (definição de tangente): por definição,
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},
sempre que \cos x \neq 0. Explico: \sin x e \cos x são as razões seno e cosseno do ângulo x; a tangente é definida como a razão entre seno e cosseno. Essa é a identidade que vamos usar para transformar a expressão.

Passo 3

Substituição direta usando a definição de \tan x. Aplicando a identidade do passo anterior na expressão dada, temos
\tan x - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x},
válido para \cos x \neq 0.

Passo 4

Operação algébrica: quando duas frações são idênticas, a diferença é zero. Podemos também ver por fatoração: escrevendo as parcelas com fator comum,
\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\bigl(1-1\bigr) = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\cdot 0 = 0.
Portanto, a simplificação conduz a zero, sempre que as expressões originais estejam definidas (isto é, \cos x \neq 0).

Passo 5

Comentário sobre pontos onde \cos x = 0: nesses pontos a expressão original não está definida porque aparece divisão por zero em \frac{\sin x}{\cos x} e em \tan x. Logo, não podemos simplesmente afirmar que o valor é 0 nesses pontos; a igualdade ao zero vale no domínio onde ambas as parcelas existem: \cos x \neq 0.

Resposta

0 para \cos x \neq 0

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