Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão
Informações dadas e observações importantes: a expressão envolve funções trigonométricas
,
e
. Note que onde
as frações
e
não estão definidas, então qualquer simplificação algébrica só vale diretamente quando
. A partir daqui vamos simplificar passo a passo.
Passo 2
Lembrete útil (definição de tangente): por definição,
sempre que
. Explico:
e
são as razões seno e cosseno do ângulo
; a tangente é definida como a razão entre seno e cosseno. Essa é a identidade que vamos usar para transformar a expressão.
Passo 3
Substituição direta usando a definição de
. Aplicando a identidade do passo anterior na expressão dada, temos
válido para
.
Passo 4
Operação algébrica: quando duas frações são idênticas, a diferença é zero. Podemos também ver por fatoração: escrevendo as parcelas com fator comum,
Portanto, a simplificação conduz a zero, sempre que as expressões originais estejam definidas (isto é,
).
Passo 5
Comentário sobre pontos onde
: nesses pontos a expressão original não está definida porque aparece divisão por zero em
e em
. Logo, não podemos simplesmente afirmar que o valor é
nesses pontos; a igualdade ao zero vale no domínio onde ambas as parcelas existem:
.