Questão 9 [sof-1]. Qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes variáveis:
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de segunda ordem. Vamos primeiro encontrar uma solução elementar e depois aplicar redução de ordem para achar a segunda.
Passo 2
Procuramos uma solução do tipo
. Supondo
, tomamos
Calculamos
e substituímos na equação:
Logo
é uma solução.
Passo 3
Para achar a segunda solução usamos redução de ordem, escrevendo
Substituindo na EDO e simplificando (omitindo passos algébricos), chega-se a
Definindo
, obtém-se a EDO de primeira ordem
Passo 4
Da equação
segue
Assim
Portanto
Passo 5
A solução geral é combinação linear de
e
. Renomeando constantes, escrevemos
Resposta
A solução geral é