Questão 9 [sof-1]. Qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos primeiro tentar encontrar uma solução simples por inspeção e depois usar redução de ordem para achar a segunda solução.
Passo 2
Procuramos uma solução da forma
. Substituindo em
(obtida ao dividir a EDO por
), temos
Então
Para eliminar o termo em
devemos ter
, isto é
. Com isso o termo independente fica
, confirmando que
é uma solução.
Passo 3
Para obter a segunda solução
usamos redução de ordem. Na forma padrão
temos
. A fórmula diz
Calculamos
logo
Passo 4
Substituindo em
:
Como a constante
pode ser absorvida em
, tomamos
Passo 5
A solução geral da EDO é combinação linear de
e
: