Questão 9 [sof-1]. Qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial
t y^prime prime+(4 t-1) y^prime+(4 t-2) y=0 ?
y(t)=c1 e^-2 t+c2 e^-2+1 / t.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t,y''+(4t-1),y'+(4t-2),y=0
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos primeiro tentar encontrar uma solução simples por inspeção e depois usar redução de ordem para achar a segunda solução.

Passo 2

Procuramos uma solução da forma y1(t)=e^lambda t. Substituindo em
y''+(4-tfrac1t)y'+(4-tfrac2t)y=0
(obtida ao dividir a EDO por t), temos
y1'= lambda e^lambda t, y1''=lambda^2e^lambda t
Então
lambda^2e^lambda t+(4-tfrac1t),lambda e^lambda t+(4-tfrac2t)e^lambda t=0 ;Longrightarrow; lambda^2+4lambda+4+l(-tfraclambda-tfrac2r)tfrac1t=0
Para eliminar o termo em 1/t devemos ter -lambda-2=0, isto é lambda=-2. Com isso o termo independente fica (-2)^2+4(-2)+4=0, confirmando que
y1(t)=e^-2t
é uma solução.

Passo 3

Para obter a segunda solução y2 usamos redução de ordem. Na forma padrão
y''+P(t)y'+Q(t)y=0,
temos P(t)=4-tfrac1t. A fórmula diz
y2=y1integral e^-integral P(t),dty1^2,dt
Calculamos
integral P(t),dt=integrall(4-tfrac1tr)dt=4t-ln t,
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e^-integral P,dt=e^-4t+ln t=t,e^-4t

Passo 4

Substituindo em y2:
y2=e^-2tintegral t,e^-4tl(e^-2tr)^2,dt =e^-2tintegral t,e^-4te^-4t,dt =e^-2tintegral t,dt =e^-2t,t^22
Como a constante 1/2 pode ser absorvida em C2, tomamos
y2(t)=t^2e^-2t

Passo 5

A solução geral da EDO é combinação linear de y1 e y2:
y(t)=C1,e^-2t+C2,t^2e^-2t

Resposta

y(t)=C1e^-2t+C2t^2e^-2t

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