Questão: Uma substância em uma solução, por exemplo, açúcar, é decomposta em outras substâncias por meio de uma reação química. Taxa de reação é diretamente proporcional à quantidade de açúcar remanescente, em qualquer instante
Onde
é a quantidade (massa) de açúcar presente, k é a taxa de proporcionalidade e a é a quantidade inicial de açúcar presente. Determine
.
Passo 1
Nesse exercício, o enunciado pede para determinar a função x(t) que satisfaz à equação diferencial
. O tema é equação diferencial de primeira ordem linear e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão de EDO linear:
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente
.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso leva a
onde
é constante de integração.
Passo 5
Isolamos
:
Para determinar
, usamos a condição inicial de que no instante inicial não há açúcar decomposto, isto é,
. Assim,
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos a solução: