5^ a Questão: Uma substância em uma solução, por exemplo, açúcar, é decomposta em outras substâncias por meio de uma reação química. Taxa de reação é diretamente proporcional à quantidade de açúcar remanescente, em qualquer instante t
d xd t=k(a-x)
Onde x é a quantidade (massa) de açúcar presente, k é a taxa de proporcionalidade e a é a quantidade inicial de açúcar presente. Determine times(t).

Passo 1

Nesse exercício, o enunciado pede para determinar a função x(t) que satisfaz à equação diferencial dxdt=k(a-x). O tema é equação diferencial de primeira ordem linear e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão de EDO linear:
dxdt + k,x = k,a
Aqui identificamos P(t)=k e Q(t)=k,a.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral k,dt = e^k t
Multiplicamos toda a equação por mu(t):
e^k tdxdt + k,e^k tx = k,a,e^k t
O lado esquerdo é exatamente ddtl(x e^k tr).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(x e^k tr),dt = integral k,a,e^k t,dt
Isso leva a
x e^k t = a e^k t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos x(t):
x(t) = a + C e^-k t
Para determinar C, usamos a condição inicial de que no instante inicial não há açúcar decomposto, isto é, x(0)=0. Assim,
0 = a + C implies C = -a

Passo 6

Substituindo C=-a em x(t), obtemos a solução:
x(t) = a - a e^-k t = al(1 - e^-k tr)

Resposta

x(t) = al(1 - e^-k tr)

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