Questão 1.(9) Supondo que a solução possa ser escrita como uma solução estacionária e uma solução transiente. Encontre a solução estacionária, escreva o problema que a solução transiente deve satisfazer e encontre a solução transiente.
\begin{cases}u_{t}=u_{x x}+x^{2} & \text { se } 0<x<1 \text { e } t>0 \\\ u(0, t)=u(1, t)=0 & \text { se } t \geq 0 \\\ u(x, 0)=-x^{4} / 12 & \text { se } 0 \leq x \leq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a solução de
u_{t}=u_{xx}+x^{2},\quad 0<x<1,\;t>0,
com
u(0,t)=u(1,t)=0,\quad u(x,0)=-\frac{x^{4}}{12}.
Vamos usar superposição: escrever
u(x,t)=v(x)+w(x,t),
onde v é a parte estacionária (independente de t) e w é a parte transiente.

Passo 2

Para achar a solução estacionária v(x) impomos
0=v_{xx}+x^{2},\quad v(0)=0,\;v(1)=0.
Integrando duas vezes:
v''(x)=-x^{2} \quad\Longrightarrow\quad v'(x)=-\frac{x^{3}}{3}+C_{1},
v(x)=-\frac{x^{4}}{12}+C_{1}x+C_{2}.
Das condições de contorno v(0)=0\Rightarrow C_{2}=0 e v(1)=0\Rightarrow -\tfrac{1}{12}+C_{1}=0, obtemos
C_{1}=\frac{1}{12},\quad C_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x}{12}.

Passo 3

Definimos a parte transiente
w(x,t)=u(x,t)-v(x).
Substituindo em u_{t}=u_{xx}+x^{2} e usando v''+x^{2}=0, decorre
w_{t}=w_{xx},
com contornos homogêneos
w(0,t)=u(0,t)-v(0)=0,\quad w(1,t)=0,
e condição inicial
w(x,0)=u(x,0)-v(x) =-\frac{x^{4}}{12}-\Bigl(-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x}{12}\Bigr) =-\frac{x}{12}.

Passo 4

Solução de w por série de senos:
w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,e^{-n^{2}\pi^{2}t}\,\sin(n\pi x),
onde
B_{n}=2\int_{0}^{1}w(x,0)\,\sin(n\pi x)\,dx =2\int_{0}^{1}\Bigl(-\frac{x}{12}\Bigr)\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx.
Como
\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{(-1)^{n}}{n\pi},
vem
B_{n} =-\frac{1}{6}\Bigl(-\frac{(-1)^{n}}{n\pi}\Bigr) =\frac{(-1)^{n}}{6\,n\pi}.

Passo 5

Logo a parte transiente é
w(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{6\,n\pi} \,e^{-n^{2}\pi^{2}t}\,\sin(n\pi x),
e a solução completa fica
u(x,t) =v(x)+w(x,t) =-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x}{12} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{6\,n\pi} \,e^{-n^{2}\pi^{2}t}\,\sin(n\pi x).

Resposta

Solução estacionária:
v(x)=-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x}{12}.
Problema que w deve satisfazer:
\begin{cases} w_{t}=w_{xx},&0<x<1,\;t>0,\\\ w(0,t)=w(1,t)=0,\\\ w(x,0)=-\dfrac{x}{12}. \end{cases}
Solução transiente:
w(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{6\,n\pi} \,e^{-n^{2}\pi^{2}t}\,\sin(n\pi x).

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