Questão 1.(9) Supondo que a solução possa ser escrita como uma solução estacionária e uma solução transiente. Encontre a solução estacionária, escreva o problema que a solução transiente deve satisfazer e encontre a solução transiente.
\begin{cases}u_{t}=u_{x x}+x^{2} & \text { se } 0<x<1 \text { e } t>0 \\\ u(0, t)=u(1, t)=0 & \text { se } t \geq 0 \\\ u(x, 0)=-x^{4} / 12 & \text { se } 0 \leq x \leq 1\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede a solução de
u_{t}=u_{xx}+x^{2},\quad 0<x<1,\;t>0,
com
u(0,t)=u(1,t)=0,\quad u(x,0)=-\frac{x^{4}}{12}.
Vamos usar superposição: escrever
u(x,t)=v(x)+w(x,t),
onde v é a parte estacionária (independente de t) e w é a parte transiente.