Questão 5. Suponha que a e b sejam números sorteados aleatoriamente no intervalo [0,1]. Então em ambos os casos abaixo forneça um modelo probabilístico adequado e, calcule:
Calcule a probabilidade de que a equação a x^2+x+1 tenha raízes reais.

Passo 1

Vamos modelar (a,b) como um ponto sorteado uniformemente no quadrado [0,1]times[0,1]. O problema pede a probabilidade de que a equação
a x^2 + b x + 1 = 0
tenha raízes reais. Para isso, vamos usar a condição de existência de raízes reais num polinômio de segundo grau, que depende do discriminante.

Passo 2

O discriminante dessa equação é
De<a = b^2 - 4,acdot1 = b^2 - 4a
Para termos raízes reais, precisamos de De<a>=0, ou seja,
b^2 - 4a >= 0 Long<=ftrightarrow a <= b^24

Passo 3

Geometricamente, estamos no quadrado [0,1]^2 no plano (a,b), e a região de interesse é
R = l(a,b)in[0,1]^2 : a <= tfracb^24r
Como a distribuição é uniforme, a probabilidade pedida é a área de R dividida pela área total do quadrado (que vale 1).

Passo 4

Para computar a área de R, integramos em b de 0 a 1 a extensão em a, que vai de a=0 até a=b^2/4:
Área(R) = integralb=0^1 b^24,db = 14integral0^1 b^2,db = 14cdot1^33 = 112 Á

Resposta

A probabilidade de que a equação a x^2 + b x + 1 = 0 tenha raízes reais é 112

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