Questão 5. Suponha que
e
sejam números sorteados aleatoriamente no intervalo
. Então em ambos os casos abaixo forneça um modelo probabilístico adequado e, calcule:
Calcule a probabilidade de que a equação
tenha raízes reais.
Calcule a probabilidade de que a equação
Passo 1
Vamos modelar
como um ponto sorteado uniformemente no quadrado
. O problema pede a probabilidade de que a equação
tenha raízes reais. Para isso, vamos usar a condição de existência de raízes reais num polinômio de segundo grau, que depende do discriminante.
Passo 2
O discriminante dessa equação é
Para termos raízes reais, precisamos de
, ou seja,
Passo 3
Geometricamente, estamos no quadrado
no plano
, e a região de interesse é
Como a distribuição é uniforme, a probabilidade pedida é a área de
dividida pela área total do quadrado (que vale 1).
Passo 4
Para computar a área de
, integramos em
de
a
a extensão em
, que vai de
até
:
Resposta
A probabilidade de que a equação
tenha raízes reais é