Questão 5. Suponha que
e
sejam números sorteados aleatoriamente no intervalo
. Então em ambos os casos abaixo forneça um modelo probabilístico adequado e, calcule:
Calcule a probabilidade de que a equação
tenha raízes complexas;
Calcule a probabilidade de que a equação
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a equação
tenha raízes complexas, quando
e
são sorteados aleatoriamente em
. O conteúdo principal é probabilidade contínua em duas dimensões (probabilidade geométrica) e usaremos o critério de discriminante para identificar quando as raízes são não reais.
Passo 2
Como
e
são independentes e uniformes em
, o espaço amostral é o quadrado unitário
com densidade conjunta
Passo 3
Para que as raízes sejam complexas, o discriminante deve ser negativo. O discriminante é
Logo, queremos
, isto é,
Passo 4
A probabilidade pedida é a área da região
dividida pela área total (que é 1). Assim,
Calculando a integral:
Resposta
A probabilidade de que a equação tenha raízes complexas é
.