Questão 5. Suponha que a e b sejam números sorteados aleatoriamente no intervalo [0,1]. Então em ambos os casos abaixo forneça um modelo probabilístico adequado e, calcule:
Calcule a probabilidade de que a equação x^2+2 a x+b tenha raízes complexas;

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a equação
x^2 + 2,a,x + b = 0
tenha raízes complexas, quando a e b são sorteados aleatoriamente em [0,1]. O conteúdo principal é probabilidade contínua em duas dimensões (probabilidade geométrica) e usaremos o critério de discriminante para identificar quando as raízes são não reais.

Passo 2

Como a e b são independentes e uniformes em [0,1], o espaço amostral é o quadrado unitário (a,b)mid0<= a<=1,;0<= b<=1 com densidade conjunta
f(a,b)=1, (a,b)in[0,1]^2

Passo 3

Para que as raízes sejam complexas, o discriminante deve ser negativo. O discriminante é
De<a = (2a)^2 - 4cdot1cdot b = 4,a^2 - 4,b = 4l(a^2-br)
Logo, queremos De<a<0, isto é,
a^2-b<0 Long<=ftrightarrow b>a^2

Passo 4

A probabilidade pedida é a área da região (a,b)in[0,1]^2: b>a^2 dividida pela área total (que é 1). Assim,
P = integral duplab>a^2 f(a,b),db,da = integrala=0^1!integralb=a^2^11,db,da = integral0^1l(1 - a^2r),da
Calculando a integral:
integral0^1(1 - a^2),da = l[a - tfraca^33r]0^1 = 1 - tfrac13 = tfrac23

Resposta

A probabilidade de que a equação tenha raízes complexas é tfrac23.

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