37^circ ) Questão.

Suponha que sum an x^n converge quando x=-4 e diverge quando x=6. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
а) sum an
b) sum an 8^n
c) sum an(-3)^n
d) sum an(-9)^n

Passo 1

O enunciado fala de uma série de potências centrada em zero: sum anx^n. Sabemos que ela converge em x=-4 e diverge em x=6. O conteúdo é raio de convergência de séries de potências; vamos usar as relações entre os pontos de convergência/divergência e o raio R.

Passo 2

Para uma série de potências sum anx^n com raio de convergência R vale:
  • Se converge em x=x0 então lvert x0rvert <= R.
  • Se diverge em x=x1 então lvert x1rvert >= R.
    Aqui converge em -4, logo R>= 4, e diverge em 6, logo R<6. Combinando:
4 <= R < 6

Passo 3

Analisando os casos em que lvert xrvert < R:
– Para sum an temos x=1 e lvert 1rvert =1<4<= R, logo converge.
– Para sum an(-3)^n temos x=-3 e lvert -3rvert =3<4<= R, logo converge.

Passo 4

Analisando os casos em que lvert xrvert > R:
– Para sum an8^n temos x=8 e lvert 8rvert =8>R<6, logo diverge.
– Para sum an(-9)^n temos x=-9 e lvert -9rvert =9>R<6, logo diverge.

Resposta

(a) sum an converge.
(b) sum an8^n diverge.
(c) sum an(-3)^n converge.
(d) sum an(-9)^n diverge.

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