) Questão.
Suponha que
converge quando
e diverge quando
. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
а)
b)
c)
d)
а)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado fala de uma série de potências centrada em zero:
. Sabemos que ela converge em
e diverge em
. O conteúdo é raio de convergência de séries de potências; vamos usar as relações entre os pontos de convergência/divergência e o raio
.
Passo 2
Para uma série de potências
com raio de convergência
vale:
- Se converge em
então . - Se diverge em
então .
Aqui converge em, logo , e diverge em , logo . Combinando:
Passo 3
Analisando os casos em que
:
– Para temos
e
, logo converge.
– Para temos
e
, logo converge.
– Para
– Para
Passo 4
Analisando os casos em que
:
– Para temos
e
, logo diverge.
– Para temos
e
, logo diverge.
– Para
– Para
Resposta
(a)
converge.
(b) diverge.
(c) converge.
(d) diverge.
(b)
(c)
(d)