Solucione os problemas de valor de contorno utilizando o método da separação de variáveis (Resposta y(x, t)=4 e^(3 t-2 x) / 2 )
l 3 yx+2 yt=0 y(x, 0)=4 e^-x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação em derivadas parciais de primeira ordem com coeficientes constantes
3,yx+2,yt=0
e a condição inicial
y(x,0)=4,e^-x
O método escolhido é o de separação de variáveis, que supõe uma solução do tipo
y(x,t)=X(x),T(t)

Passo 2

Substituindo y(x,t)=X(x),T(t) na PDE temos
3,X'(x),T(t)+2,X(x),T'(t)=0
Dividindo por X(x),T(t) (assumindo Xneq0, Tneq0) obtém-se
3,X'(x)X(x)+2,T'(t)T(t)=0
Cada termo depende de uma variável diferente, logo deve valer uma constante de separação, digamos lambda:
3,X'X=lambda, 2,T'T=-lambda

Passo 3

Agora resolvemos as ODEs separadamente.
Para X(x):
X'X=lambda3 Longrightarrow X(x)=A,e^lambda x/3,
onde A é constante.
Para T(t):
T'T=-lambda2 Longrightarrow T(t)=B,e^-lambda t/2,
onde B é outra constante.

Passo 4

A solução geral é
y(x,t)=X(x),T(t)=A,B;e^lambda x/3;e^-lambda t/2
Chamando C=AB e reunindo o expoente,
y(x,t)=C,e^lambda x/3 - lambda t/2
Impondo a condição inicial y(x,0)=4,e^-x
C,e^lambda x/3=4,e^-x Longrightarrow C=4, lambda3=-1 ;Rightarrow; lambda=-3
Substituindo lambda e C na expressão geral resulta

Resposta

y(x,t)=4,expl(-3,t-(-3),x2r) =4,e^(3,t-2,x)/2

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