Seja
. Encontre:
(a) O conjugado de
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(b) O módulo de
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© A forma polar de
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(a) O conjugado de
(b) O módulo de
© A forma polar de
Passo 1
Beleza! A gente tem um número complexo $ z = 5 - 2i $. O que precisamos fazer aqui é encontrar o conjugado de $ z $, o módulo de $ z $ e a forma polar de $ z $. Para resolver isso, vamos lembrar uns conceitos básicos de números complexos, como conjugado, módulo e conversão para a forma polar.
Passo 2
(a) Encontrando o conjugado de $ z $.
Primeiro, o conjugado de um número complexo $ z = a + bi $ é dado por $ z^* = a - bi $. Isso significa que a gente troca o sinal da parte imaginária.
Então, se $ z = 5 - 2i $, o conjugado $ z^* $ vai ser:
Passo 3
(b) Calculando o módulo de $ z $.
O módulo de um número complexo $ z = a + bi $ é a distância do ponto $ z $ até a origem no plano complexo, e é calculado pela fórmula:
No nosso caso, $ a = 5 $ e $ b = -2 $. Então:
Portanto, o módulo de $ z $ é $ \sqrt{29} $.
Passo 4
© Encontrando a forma polar de $ z $.
A forma polar de um número complexo expressa $ z $ em termos de seu módulo e do ângulo que o número faz com o eixo real no plano complexo. Ela é representada por:
onde:
- $ r $ é o módulo de $ z $ (que já calculamos como $ \sqrt{29} $),
- $ \theta $ é o argumento de $ z $, ou seja, o ângulo que $ z $ forma com o eixo real positivo.
Para encontrar $ \theta $, usamos a tangente do ângulo:
Então:
Isso nos dá o ângulo em radianos ou graus, dependendo da calculadora que você estiver usando.
Finalmente, substituindo $ r $ e $ \theta $ na forma polar:
Resposta
(a) O conjugado de $ z $ é $ 5 + 2i $.
(b) O módulo de $ z $ é $ \sqrt{29} $.
© A forma polar de $ z $ é $ \sqrt{29} \left( \cos\left( \arctan\left( \frac{-2}{5} \right) \right) + i \sin\left( \arctan\left( \frac{-2}{5} \right) \right) \right) $.