O objetivo explícito é encontrar o vetor \,x que resolve o problema pelo método dos mínimos quadrados (isto é, encontrar o x que minimiza a norma do resíduo Ax-b).]
Passo 2
Vou explicar (de forma direta) o princípio do método dos mínimos quadrados que vamos usar na prova:
Queremos minimizar a função custo
\varphi(x)=\|Ax-b\|^{2}=(Ax-b)^{T}(Ax-b).
Isto significa procurar x que deixa o vetor erro Ax-b o mais “curto” possível em norma Euclidiana. A condição necessária de ótimo (derivada da minimização) dá as equações normais:
A^{T}A\,x = A^{T}b.
Aqui:
A^{T} é a transposta da matriz A;
A^{T}A é uma matriz quadrada (aqui 2\times2);
A^{T}b é um vetor coluna 2\times1.
Resolver as equações normais fornece o x que minimiza \|Ax-b\|^{2}. Esse método é o procedimento padrão em provas quando pedem “método dos mínimos quadrados”.
Passo 3
Calcular a transposta A^{T}. A matriz A é 3\times2, então A^{T} é 2\times3:
Expliquei: para transpor, trocamos linhas por colunas.]
Passo 4
Calcular A^{T}A. É o produto de uma 2\times3 por uma 3\times2, resultado 2\times2. Faço cada entrada como soma de produtos de componentes correspondentes:
Calcular A^{T}b. É um produto 2\times3 por 3\times1, resultando em 2\times1. Cada componente é soma de produtos dos elementos da coluna correspondente de A com b: