Questão 3. Resolva o sistema abaixo usando o método dos mínimos quadrados.
\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{0} \\\ x_{1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear dado usando o método dos mínimos quadrados. As informações fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_{0}\\[4pt]x_{1}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix},
e o sistema é
A x = b.
O objetivo explícito é encontrar o vetor \,x que resolve o problema pelo método dos mínimos quadrados (isto é, encontrar o x que minimiza a norma do resíduo Ax-b).]

Passo 2

Vou explicar (de forma direta) o princípio do método dos mínimos quadrados que vamos usar na prova:
Queremos minimizar a função custo
\varphi(x)=\|Ax-b\|^{2}=(Ax-b)^{T}(Ax-b).
Isto significa procurar x que deixa o vetor erro Ax-b o mais “curto” possível em norma Euclidiana. A condição necessária de ótimo (derivada da minimização) dá as equações normais:
A^{T}A\,x = A^{T}b.
Aqui:
  • A^{T} é a transposta da matriz A;
  • A^{T}A é uma matriz quadrada (aqui 2\times2);
  • A^{T}b é um vetor coluna 2\times1.
Resolver as equações normais fornece o x que minimiza \|Ax-b\|^{2}. Esse método é o procedimento padrão em provas quando pedem “método dos mínimos quadrados”.

Passo 3

Calcular a transposta A^{T}. A matriz A é 3\times2, então A^{T} é 2\times3:
A^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Expliquei: para transpor, trocamos linhas por colunas.]

Passo 4

Calcular A^{T}A. É o produto de uma 2\times3 por uma 3\times2, resultado 2\times2. Faço cada entrada como soma de produtos de componentes correspondentes:
A^{T}A= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{3}a_{i1}a_{i1} & \sum_{i=1}^{3}a_{i1}a_{i2}\\[4pt] \sum_{i=1}^{3}a_{i2}a_{i1} & \sum_{i=1}^{3}a_{i2}a_{i2} \end{pmatrix}.
Agora calculo numericamente os somatórios (cada número entre ... é mostrado):
\sum_{i=1}^{3}a_{i1}a_{i1}=1^{2}+2^{2}+3^{2}=1+4+9=14,
\sum_{i=1}^{3}a_{i1}a_{i2}=1\cdot1+2\cdot1+3\cdot1=1+2+3=6,
\sum_{i=1}^{3}a_{i2}a_{i2}=1^{2}+1^{2}+1^{2}=1+1+1=3.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix}14 & 6\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular A^{T}b. É um produto 2\times3 por 3\times1, resultando em 2\times1. Cada componente é soma de produtos dos elementos da coluna correspondente de A com b:
A^{T}b= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{3}a_{i1}b_{i}\\[4pt] \sum_{i=1}^{3}a_{i2}b_{i} \end{pmatrix}.
Calculo numérico:
\sum_{i=1}^{3}a_{i1}b_{i}=1\cdot1+2\cdot2+3\cdot0=1+4+0=5,
\sum_{i=1}^{3}a_{i2}b_{i}=1\cdot1+1\cdot2+1\cdot0=1+2+0=3.
Logo
A^{T}b=\begin{pmatrix}5\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora escrevemos as equações normais completas:
\begin{pmatrix}14 & 6\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{0}\\[4pt]x_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Vou resolver esse sistema 2\times2. As equações são:
14x_{0}+6x_{1}=5,
6x_{0}+3x_{1}=3.
Note que a segunda equação pode ser simplificada dividindo por 3:
2x_{0}+x_{1}=1.
Daí isolamos x_{1}:
x_{1}=1-2x_{0}.]

Passo 7

Substituo x_{1}=1-2x_{0} na primeira equação para achar x_{0}:
14x_{0}+6(1-2x_{0})=5.
Faço as contas passo a passo:
14x_{0}+6-12x_{0}=5,
(14x_{0}-12x_{0})+6=5,
2x_{0}+6=5,
2x_{0}=5-6=-1,
x_{0}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Com x_{0}=-\tfrac{1}{2}, volto à expressão x_{1}=1-2x_{0}:
x_{1}=1-2\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1+1=2.
Portanto o vetor solução obtido pelo método dos mínimos quadrados é
x=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Se quiser conferir rapidamente (útil na prova): calcule Ax e veja o resíduo Ax-b. Aqui
Ax=\begin{pmatrix}1\cdot(-\tfrac{1}{2})+1\cdot2\\[4pt]2\cdot(-\tfrac{1}{2})+1\cdot2\\[4pt]3\cdot(-\tfrac{1}{2})+1\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}+2\\[4pt]-1+2\\[4pt]-\tfrac{3}{2}+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]1\\[4pt}\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
E o vetor b é \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}, então o resíduo é
Ax-b=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-1\\[4pt}\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},
que está ortogonal às colunas de A (checa-se multiplicando A^{T}(Ax-b)=0), confirmando que temos a projeção ortogonal de b no espaço coluna de A.]

Resposta

x_{0}=-\tfrac{1}{2}
x_{1}=2

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