\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right] \in \mathbf{R}^{2 \times 2}
e denote por \mathbf{T}_{j} e \mathbf{T}_{g s} as matrizes de iteração de Jacobi e Gauss-Seidel associadas a \mathbf{A}.
(a) Calcule \mathbf{T}_{j} e \mathbf{T}_{g s}.
(b) Calcule os autovalores de \mathbf{T}_{j} e \mathbf{T}_{g s}.
(c) Supondo a d \neq 0, mostre que \rho\left(\mathbf{T}_{g s}\right)=\left[\rho\left(\mathbf{T}_{j}\right)\right]^{2}=|b c / a d|.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]\in\mathbf{R}^{2\times 2}
e pede três coisas:
(a) Calcular as matrizes de iteração de Jacobi \mathbf{T}_{j} e de Gauss–Seidel \mathbf{T}_{g s}.
(b) Calcular os autovalores (autovalores = valores próprios) de \mathbf{T}_{j} e de \mathbf{T}_{g s}.
(c) Supondo a d \neq 0, mostrar que \rho\!\left(\mathbf{T}_{g s}\right)=\big[\rho\!\left(\mathbf{T}_{j}\right)\big]^{2}=|b c / a d|, onde \rho(\cdot) é o raio espectral (o máximo dos valores absolutos dos autovalores).
Informações relevantes fornecidas: os elementos a,b,c,d são reais; em (c) é dada a condição a d\neq 0 (necessária para inverter certas matrizes diagonais/triangulares).
Passo 2
Primeiro decomponho \mathbf{A} na forma usual usada nas iterações:
\mathbf{A}=\mathbf{D}+\mathbf{L}+\mathbf{U},
onde \mathbf{D} é a diagonal, \mathbf{L} a parte estritamente inferior e \mathbf{U} a parte estritamente superior. Calculamos explicitamente:
Aqui explique rápido o porquê: \mathbf{D} contém os elementos diagonais de \mathbf{A}, \mathbf{L} só o termo c na posição (2,1) e \mathbf{U} só o termo b na posição (1,2).]
Passo 3
Definições das matrizes de iteração (forma padrão):
Observação: essas fórmulas vêm da escrita da iteração linear para resolver \mathbf{A}x=b. Note que para usar \mathbf{D}^{-1} precisamos que a\neq 0 e d\neq 0; na parte (c) essa hipótese a d\neq 0 está explicitada.
Passo 4
Calculo explícito de \mathbf{T}_{j}. Primeiro \mathbf{L}+\mathbf{U}=\begin{pmatrix}0 & b\\\ c & 0\end{pmatrix}. Se a\neq 0 e d\neq 0, então
Agora calculo os autovalores de \mathbf{T}_{j}. Para uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}0 & -\beta\\[4pt]-\gamma & 0\end{pmatrix} o traço é 0 e o determinante é
O polinômio característico é \lambda^{2}-\mathrm{tr}(\mathbf{T}_{j})\lambda+\det(\mathbf{T}_{j})=\lambda^{2}+\det(\mathbf{T}_{j}). Substituindo \det(\mathbf{T}_{j})=-\beta\gamma obtemos