Questão 5. Considere a matriz:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right] \in \mathbf{R}^{2 \times 2}
e denote por \mathbf{T}_{j} e \mathbf{T}_{g s} as matrizes de iteração de Jacobi e Gauss-Seidel associadas a \mathbf{A}.
(a) Calcule \mathbf{T}_{j} e \mathbf{T}_{g s}.
(b) Calcule os autovalores de \mathbf{T}_{j} e \mathbf{T}_{g s}.
(c) Supondo a d \neq 0, mostre que \rho\left(\mathbf{T}_{g s}\right)=\left[\rho\left(\mathbf{T}_{j}\right)\right]^{2}=|b c / a d|.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]\in\mathbf{R}^{2\times 2}
e pede três coisas:
(a) Calcular as matrizes de iteração de Jacobi \mathbf{T}_{j} e de Gauss–Seidel \mathbf{T}_{g s}.
(b) Calcular os autovalores (autovalores = valores próprios) de \mathbf{T}_{j} e de \mathbf{T}_{g s}.
(c) Supondo a d \neq 0, mostrar que \rho\!\left(\mathbf{T}_{g s}\right)=\big[\rho\!\left(\mathbf{T}_{j}\right)\big]^{2}=|b c / a d|, onde \rho(\cdot) é o raio espectral (o máximo dos valores absolutos dos autovalores).
Informações relevantes fornecidas: os elementos a,b,c,d são reais; em (c) é dada a condição a d\neq 0 (necessária para inverter certas matrizes diagonais/triangulares).

Passo 2

Primeiro decomponho \mathbf{A} na forma usual usada nas iterações:
\mathbf{A}=\mathbf{D}+\mathbf{L}+\mathbf{U},
onde \mathbf{D} é a diagonal, \mathbf{L} a parte estritamente inferior e \mathbf{U} a parte estritamente superior. Calculamos explicitamente:
\mathbf{D}=\left[\begin{array}{cc}a & 0\\[4pt]0 & d\end{array}\right],\qquad \mathbf{L}=\left[\begin{array}{cc}0 & 0\\[4pt]c & 0\end{array}\right],\qquad \mathbf{U}=\left[\begin{array}{cc}0 & b\\[4pt]0 & 0\end{array}\right].
Aqui explique rápido o porquê: \mathbf{D} contém os elementos diagonais de \mathbf{A}, \mathbf{L} só o termo c na posição (2,1) e \mathbf{U} só o termo b na posição (1,2).]

Passo 3

Definições das matrizes de iteração (forma padrão):
  • Jacobi: \displaystyle \mathbf{T}_{j}=-\mathbf{D}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{U}).
  • Gauss–Seidel: \displaystyle \mathbf{T}_{g s}=-(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}\mathbf{U}.
Observação: essas fórmulas vêm da escrita da iteração linear para resolver \mathbf{A}x=b. Note que para usar \mathbf{D}^{-1} precisamos que a\neq 0 e d\neq 0; na parte (c) essa hipótese a d\neq 0 está explicitada.

Passo 4

Calculo explícito de \mathbf{T}_{j}. Primeiro \mathbf{L}+\mathbf{U}=\begin{pmatrix}0 & b\\\ c & 0\end{pmatrix}. Se a\neq 0 e d\neq 0, então
\mathbf{D}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1/a & 0\\[4pt]0 & 1/d\end{array}\right].
Multiplicando e pondo o sinal menos:
\mathbf{T}_{j}=-\mathbf{D}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{U}) =-\left[\begin{array}{cc}1/a & 0\\[4pt]0 & 1/d\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & b\\[4pt]c & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & -\,\dfrac{b}{a}\\[10pt]-\,\dfrac{c}{d} & 0\end{array}\right].
Vou usar uma notação curta: defina \beta=\dfrac{b}{a} e \gamma=\dfrac{c}{d}. Então
\mathbf{T}_{j}=\left[\begin{array}{cc}0 & -\beta\\[4pt]-\gamma & 0\end{array}\right].]

Passo 5

Agora calculo os autovalores de \mathbf{T}_{j}. Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}0 & -\beta\\[4pt]-\gamma & 0\end{pmatrix} o traço é 0 e o determinante é
\det(\mathbf{T}_{j})=0\cdot 0 - (-\beta)(-\gamma)= -\beta\gamma.
O polinômio característico é \lambda^{2}-\mathrm{tr}(\mathbf{T}_{j})\lambda+\det(\mathbf{T}_{j})=\lambda^{2}+\det(\mathbf{T}_{j}). Substituindo \det(\mathbf{T}_{j})=-\beta\gamma obtemos
\lambda^{2}-\beta\gamma=0.
Logo os autovalores são
\lambda=\pm\sqrt{\beta\gamma}=\pm\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{c}{d}}=\pm\sqrt{\dfrac{b c}{a d}}.
Portanto o raio espectral de \mathbf{T}_{j} é
\rho(\mathbf{T}_{j})=\max\big\{|\lambda|\big\}= \sqrt{\bigg|\dfrac{b c}{a d}\bigg|}.
(Se b c/(a d) for negativo, os autovalores são puramente imaginários \pm i\sqrt{|b c/(a d)|}, mas o raio espectral é ainda \sqrt{|b c/(a d)|}.)]

Passo 6

Cálculo explícito de \mathbf{T}_{g s}. Usamos
\mathbf{T}_{g s}=-(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}\mathbf{U}.
Calculo \mathbf{D}+\mathbf{L}=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]c & d\end{pmatrix}. O determinante é a d (daí a hipótese a d\neq0 necessária). A inversa é
(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}=\dfrac{1}{a d}\left[\begin{array}{cc}d & 0\\[4pt]-c & a\end{array}\right].
Multiplico por \mathbf{U}=\begin{pmatrix}0 & b\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}:
(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}\mathbf{U} =\dfrac{1}{a d}\left[\begin{array}{cc}d & 0\\[4pt]-c & a\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & b\\[4pt]0 & 0\end{array}\right] =\dfrac{1}{a d}\left[\begin{array}{cc}0 & d b\\[6pt]0 & -c b\end{array}\right].
Aplicando o sinal menos:
\mathbf{T}_{g s}=- (\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}\mathbf{U} =\left[\begin{array}{cc}0 & -\dfrac{b}{a}\\[8pt]0 & \dfrac{b c}{a d}\end{array}\right].
Note que \mathbf{T}_{g s} é triangular superior; para matrizes triangulares os autovalores são os elementos da diagonal.]

Passo 7

Logo os autovalores de \mathbf{T}_{g s} são
\lambda_{1}=0,\qquad \lambda_{2}=\dfrac{b c}{a d}.
O raio espectral é
\rho(\mathbf{T}_{g s})=\max\big\{0,\big|\tfrac{b c}{a d}\big|\big\}=\bigg|\dfrac{b c}{a d}\bigg|.
Comparando com o resultado do Passo 5, \rho(\mathbf{T}_{j})=\sqrt{\big|b c/(a d)\big|}. Portanto
\rho(\mathbf{T}_{g s})=\bigg|\dfrac{b c}{a d}\bigg|=\left(\sqrt{\bigg|\dfrac{b c}{a d}\bigg|}\right)^{2}=\big[\rho(\mathbf{T}_{j})\big]^{2}.
Isto prova a igualdade pedida, sob a hipótese a d\neq 0.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{T}_{j}=\left[\begin{array}{cc}0 & -\dfrac{b}{a}\\[6pt]-\dfrac{c}{d} & 0\end{array}\right],\qquad \mathbf{T}_{g s}=\left[\begin{array}{cc}0 & -\dfrac{b}{a}\\[6pt]0 & \dfrac{b c}{a d}\end{array}\right].
(b) Autovalores de \mathbf{T}_{j}: \displaystyle \lambda=\pm\sqrt{\dfrac{b c}{a d}}. Autovalores de \mathbf{T}_{g s}: \displaystyle \lambda_{1}=0,\\ \lambda_{2}=\dfrac{b c}{a d}.
(c) Supondo a d\neq 0: \displaystyle \rho(\mathbf{T}_{g s})=\bigg|\dfrac{b c}{a d}\bigg|=\big[\rho(\mathbf{T}_{j})\big]^{2}.]

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