Questão 1: Suponha que U é um conjunto universo. Mostre que:
A=B se, e somente se, (A cap B^c) cup(A^c cap B)=varnothing

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto universo, chamado U, e dois subconjuntos dele, A e B. A questão quer que a gente mostre que A = B se, e somente se, a união de (A cap B^c) com (A^c cap B) é vazia, ou seja:
A = B se, e somente se, (A cap B^c) cup (A^c cap B) = varnothing
Então, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos: igualdade de conjuntos, interseção ( cap), união ( cup) e complemento ( ^c). Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A = B. Dois conjuntos são iguais se e somente se eles contêm exatamente os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A está em B e vice-versa.
Agora, vamos analisar a expressão (A cap B^c) cup (A^c cap B). Aqui está o que cada parte significa:
  • A cap B^c: São os elementos que estão em A mas não estão em B.
  • A^c cap B: São os elementos que estão em B mas não estão em A.
  • cup: A união dessas duas partes é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em B, mas não em ambos.
Então, a expressão (A cap B^c) cup (A^c cap B) representa a diferença simétrica entre A e B, ou seja, os elementos que estão em um dos conjuntos, mas não nos dois ao mesmo tempo.

Passo 3

Agora, vamos mostrar a primeira parte: Se A = B, então (A cap B^c) cup (A^c cap B) = varnothing.
Se A = B, então cada elemento de A está em B e cada elemento de B está em A. Portanto:
  • A cap B^c: Como todo elemento de A está em B, não há elementos que estão em A e não em B. Então, A cap B^c = varnothing.
  • A^c cap B: Da mesma forma, como todo elemento de B está em A, não há elementos que estão em B e não em A. Então, A^c cap B = varnothing.
Portanto, a união dos dois conjuntos vazios também é vazia:
(A cap B^c) cup (A^c cap B) = varnothing cup varnothing = varnothing

Passo 4

Agora, vamos mostrar a segunda parte: Se (A cap B^c) cup (A^c cap B) = varnothing, então A = B.
Se a união (A cap B^c) cup (A^c cap B) é vazia, isso significa que não existe nenhum elemento que esteja em A mas não em B, nem em B mas não em A. Vamos analisar isso:
  • A cap B^c = varnothing: Não há elementos em A que não estão em B. Então, todos os elementos de A estão em B.
  • A^c cap B = varnothing: Não há elementos em B que não estão em A. Então, todos os elementos de B estão em A.
Se todos os elementos de A estão em B e todos os elementos de B estão em A, isso significa que A e B têm exatamente os mesmos elementos. Portanto, A = B.

Resposta

Então, mostramos que A = B se, e somente se, (A cap B^c) cup (A^c cap B) = varnothing. Ou seja, os conjuntos A e B são iguais exatamente quando não há elementos que estão em um deles sem estarem no outro.

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