Questão 1: Suponha que
é um conjunto universo. Mostre que:
se, e somente se,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto universo, chamado
, e dois subconjuntos dele,
e
. A questão quer que a gente mostre que
se, e somente se, a união de
com
é vazia, ou seja:
Então, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos: igualdade de conjuntos, interseção (
), união (
) e complemento (
). Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Dois conjuntos são iguais se e somente se eles contêm exatamente os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de
está em
e vice-versa.
Agora, vamos analisar a expressão
. Aqui está o que cada parte significa:
-
: São os elementos que estão em mas não estão em . -
: São os elementos que estão em mas não estão em . -
: A união dessas duas partes é o conjunto de todos os elementos que estão em ou em , mas não em ambos.
Então, a expressão
representa a diferença simétrica entre
e
, ou seja, os elementos que estão em um dos conjuntos, mas não nos dois ao mesmo tempo.
Passo 3
Agora, vamos mostrar a primeira parte: Se
, então
.
Se
, então cada elemento de
está em
e cada elemento de
está em
. Portanto:
-
: Como todo elemento de está em , não há elementos que estão em e não em . Então, . -
: Da mesma forma, como todo elemento de está em , não há elementos que estão em e não em . Então, .
Portanto, a união dos dois conjuntos vazios também é vazia:
Passo 4
Agora, vamos mostrar a segunda parte: Se
, então
.
Se a união
é vazia, isso significa que não existe nenhum elemento que esteja em
mas não em
, nem em
mas não em
. Vamos analisar isso:
-
: Não há elementos em que não estão em . Então, todos os elementos de estão em . -
: Não há elementos em que não estão em . Então, todos os elementos de estão em .
Se todos os elementos de
estão em
e todos os elementos de
estão em
, isso significa que
e
têm exatamente os mesmos elementos. Portanto,
.
Resposta
Então, mostramos que
se, e somente se,
. Ou seja, os conjuntos
e
são iguais exatamente quando não há elementos que estão em um deles sem estarem no outro.