Questão 5: Verifique e prove se as funções são injetivas, sobrejetivas ou bijetivas:
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente verificar e provar se a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, dada por $ f(x) = 2x + 3 $, é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e como aplicá-los nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetiva. Uma função é injetiva se cada elemento do conjunto de chegada é imagem de, no máximo, um elemento do conjunto de partida. Em outras palavras, não pode ter dois valores diferentes de $ x $ que dão o mesmo $ f(x) $.
Para provar que $ f(x) = 2x + 3 $ é injetiva, vamos assumir que $ f(a) = f(b) $. Então:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Como chegamos que $ a = b $, isso mostra que não existem dois valores diferentes de $ x $ que resultem no mesmo $ f(x) $. Portanto, a função é injetiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se todo elemento do conjunto de chegada tem pelo menos um elemento no conjunto de partida que o transforme na imagem.
Para a nossa função $ f(x) = 2x + 3 $, queremos ver se, para todo $ y $ em $ \mathbb{R} $, existe um $ x $ em $ \mathbb{R} $ tal que:
Resolvendo para $ x $:
Como $ y $ pode ser qualquer número real, $ x $ também será real para qualquer $ y $. Isso significa que para todo $ y $, existe um $ x $ que satisfaz a equação. Portanto, a função é sobrejetiva.
Passo 4
Finalmente, como a função é tanto injetiva quanto sobrejetiva, podemos concluir que ela é bijetiva. Isso significa que há uma correspondência um a um perfeita entre todos os elementos dos conjuntos de partida e chegada.
Resposta
A função $ f(x) = 2x + 3 $ é bijetiva, ou seja, é injetiva e sobrejetiva.