Questão 1: Suponha que
é um conjunto universo. Mostre que:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar duas coisas sobre o complemento de conjuntos. Estamos trabalhando com um conjunto universo, que é o conjunto que contém todos os elementos em consideração. Especificamente, queremos provar que:
- O complemento do conjunto universo,
, é o conjunto vazio, . - O complemento do conjunto vazio,
, é o conjunto universo, .
Para resolver isso, vamos lembrar o que significa o complemento de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o complemento de um conjunto. Se temos um conjunto
, o complemento de
, denotado por
, é formado por todos os elementos que não estão em
, mas que pertencem ao conjunto universo
. Ou seja,
Isso significa que estamos olhando para tudo que não está no conjunto
, dentro do universo
.
Passo 3
Vamos começar provando que o complemento do conjunto universo é o conjunto vazio, ou seja,
.
Pela definição de complemento:
Mas espera aí, qualquer elemento
que está em
, por definição, está em
. Então não existe nenhum elemento que esteja em
e, ao mesmo tempo, não esteja em
. Portanto, o conjunto
não tem nenhum elemento, ou seja,
Passo 4
Agora, vamos provar que o complemento do conjunto vazio é o conjunto universo, isto é,
.
Novamente, usando a definição de complemento:
O conjunto vazio,
, não contém nenhum elemento. Então, para qualquer elemento
em
, é verdade que
. Isso significa que todos os elementos de
satisfazem a condição para pertencer a
. Portanto,
Resposta
Concluímos que: