Questão 1: Suponha que U é um conjunto universo. Mostre que:
U^c=varnothing e varnothing^c=U

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar duas coisas sobre o complemento de conjuntos. Estamos trabalhando com um conjunto universo, que é o conjunto que contém todos os elementos em consideração. Especificamente, queremos provar que:
  1. O complemento do conjunto universo, U^c, é o conjunto vazio, varnothing.
  2. O complemento do conjunto vazio, varnothing^c, é o conjunto universo, U.
Para resolver isso, vamos lembrar o que significa o complemento de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento de um conjunto. Se temos um conjunto A, o complemento de A, denotado por A^c, é formado por todos os elementos que não estão em A, mas que pertencem ao conjunto universo U. Ou seja,
A^c = x in U mid x notin A
Isso significa que estamos olhando para tudo que não está no conjunto A, dentro do universo U.

Passo 3

Vamos começar provando que o complemento do conjunto universo é o conjunto vazio, ou seja, U^c = varnothing.
Pela definição de complemento:
U^c = x in U mid x notin U
Mas espera aí, qualquer elemento x que está em U, por definição, está em U. Então não existe nenhum elemento que esteja em U e, ao mesmo tempo, não esteja em U. Portanto, o conjunto U^c não tem nenhum elemento, ou seja,
U^c = varnothing

Passo 4

Agora, vamos provar que o complemento do conjunto vazio é o conjunto universo, isto é, varnothing^c = U.
Novamente, usando a definição de complemento:
varnothing^c = x in U mid x notin varnothing
O conjunto vazio, varnothing, não contém nenhum elemento. Então, para qualquer elemento x em U, é verdade que x notin varnothing. Isso significa que todos os elementos de U satisfazem a condição para pertencer a varnothing^c. Portanto,
varnothing^c = U

Resposta

Concluímos que:
U^c = varnothing e varnothing^c = U

Exercícios relacionados