Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
M=x e^{-x^{2}}, \quad x=2 u v, \quad y=u-v, \quad z=u+v; \frac{\partial M}{\partial u}, \frac{\partial M}{\partial v} \quad quando u=3, v=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
M = x\,e^{-x^{2}}
e as relações de variáveis
x = 2\,u\,v,\quad y = u - v,\quad z = u + v,
e pede as derivadas parciais \frac{\partial M}{\partial u} e \frac{\partial M}{\partial v} no ponto u=3,\;v=-1. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Como M depende apenas de x, a regra da cadeia dá
\frac{\partial M}{\partial u} = \frac{\partial M}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} \quad\text{e}\quad \frac{\partial M}{\partial v} = \frac{\partial M}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v}.

Passo 3

Calculamos a derivada de M em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{-x^2}\bigr) = e^{-x^2} + x\bigl(-2x\,e^{-x^2}\bigr) = e^{-x^2}\bigl(1 - 2x^2\bigr).
Logo,
\frac{\partial M}{\partial x} = e^{-x^2}\bigl(1 - 2x^2\bigr).

Passo 4

A partir de x=2uv obtemos
\frac{\partial x}{\partial u} = 2v, \qquad \frac{\partial x}{\partial v} = 2u.

Passo 5

Substituindo em cada derivada parcial:
\frac{\partial M}{\partial u} = e^{-x^2}\bigl(1-2x^2\bigr)\cdot 2v, \qquad \frac{\partial M}{\partial v} = e^{-x^2}\bigl(1-2x^2\bigr)\cdot 2u.

Passo 6

No ponto u=3,\;v=-1 temos x=2\cdot3\cdot(-1)=-6. Então
e^{-x^2}=e^{-36}, \quad 1-2x^2=1-2\cdot36=-71.
Logo
\frac{\partial M}{\partial u}\Big|_{(3,-1)} =2(-1)\,e^{-36}(-71)=142\,e^{-36},
\frac{\partial M}{\partial v}\Big|_{(3,-1)} =2\cdot3\,e^{-36}(-71)=-426\,e^{-36}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial M}{\partial u}(3,-1)=142\,e^{-36},
\displaystyle \frac{\partial M}{\partial v}(3,-1)=-426\,e^{-36}.

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