QUESTÃO 7: A Teoria Cinética dos Gases (TCG) fornece uma interpretação microscópica para as propriedades macroscópicas dos gases ideais, como pressão e temperatura. Avalie as afirmações abaixo com base nos postulados da TCG:
I. A pressão exercida por um gás ideal nas paredes do recipiente é resultado das colisões perfeitamente elásticas das moléculas do gás com as paredes.
II. A temperatura absoluta de um gás ideal é uma medida diretamente proporcional à energia cinética média de translação de suas moléculas.
III. A energia interna de um gás ideal monoatômico é composta apenas pela energia cinética de translação de suas moléculas, desprezando-se as energias potencial e cinética de rotação/vibração.
Avalie as afirmações e assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
a) F, V, F
b) V, F, V
c) F, V, V
d) V, V, F
e) V, V, V
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações (I, II, III) sobre o comportamento de um gás ideal segundo a Teoria Cinética dos Gases (TCG) e pede que eu avalie cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). As afirmações são:
I. A pressão exercida por um gás ideal nas paredes do recipiente é resultado das colisões perfeitamente elásticas das moléculas do gás com as paredes.
II. A temperatura absoluta de um gás ideal é uma medida diretamente proporcional à energia cinética média de translação de suas moléculas.
III. A energia interna de um gás ideal monoatômico é composta apenas pela energia cinética de translação de suas moléculas, desprezando-se as energias potencial e cinética de rotação/vibração.
Informações dadas (explicitadas): as três afirmações referem-se ao modelo de gás ideal descrito pela TCG; não há figura ou dados numéricos adicionais. Vou avaliar cada afirmação usando os postulados típicos da TCG.
Passo 2
Análise da afirmação I — ideia física e derivação resumida da pressão.
Explicação didática: na TCG assumimos que as moléculas se movem aleatoriamente e colidem com as paredes do recipiente. Se as colisões com as paredes são perfeitamente elásticas, cada colisão troca momento entre uma molécula e a parede; somando essas trocas por unidade de tempo e dividindo pela área obtemos a pressão. Vou mostrar isso com um argumento simples para fixar a ideia.
Considere um recipiente cúbico de lado L e uma molécula de massa m que tem componente de velocidade v_x perpendicular a uma face. Ao colidir elasticamente com a parede, o componente v_x inverte de sinal, então a mudança de momento por colisão é
\Delta p_x = 2 m v_x.
O tempo entre colisões sucessivas dessa mesma molécula com a mesma parede é \Delta t = \dfrac{2L}{|v_x|}. Assim a força média exercida por essa molécula sobre a parede é
Somando sobre N moléculas e dividindo pela área da face A=L^2 obtemos a pressão
p = \frac{1}{A}\sum_{\text{moléculas}} \frac{m v_x^2}{L} = \frac{N m \overline{v_x^2}}{V},
onde V=L^3 e \overline{v_x^2} é a média de v_x^2 sobre as moléculas. Assumindo isotropia (as direções são equivalentes), \overline{v_x^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}, o que leva à fórmula usual
p = \frac{1}{3}\frac{N m \overline{v^2}}{V}.
Conclusão sobre I: essa dedução mostra que a pressão vem diretamente das colisões elásticas com as paredes (transferência de momento). Portanto a afirmação I é verdadeira, desde que se aceite a hipótese de colisões elásticas (que é uma postulação do gás ideal).
Passo 3
Análise da afirmação II — relação entre temperatura e energia cinética média.
Explicação didática: a TCG liga a pressão e a temperatura através da equação de estado dos gases ideais macroscópica pV = N k_B T, onde N é o número de moléculas e k_B a constante de Boltzmann. Podemos combinar essa equação com a expressão obtida para a pressão para relacionar a temperatura com a energia cinética média.
Partindo de
p = \frac{1}{3}\frac{N m \overline{v^2}}{V}
e
pV = N k_B T,
igualando pV das duas expressões obtemos
\frac{1}{3} N m \overline{v^2} = N k_B T.
Cancelando N e rearranjando aparecem as formas usuais:
\frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k_B T.
Interpretação: o lado esquerdo \tfrac{1}{2} m \overline{v^2} é a energia cinética média de translação por molécula; o lado direito é proporcional à temperatura absoluta T. Assim, a temperatura absoluta é diretamente proporcional à energia cinética média de translação das moléculas.
Conclusão sobre II: a afirmação II é verdadeira. Fisicamente: temperatura = medida do “agito” médio translacional das moléculas.
Passo 4
Análise da afirmação III — conteúdo da energia interna de um gás monoatômico ideal.
Explicação didática: a energia interna U de um sistema é a soma das energias cinéticas e potenciais de todas as partículas. No modelo de gás ideal a hipótese é que não há forças intermoleculares (exceto durante colisões instantâneas), ou seja, a energia potencial entre moléculas é desprezível. Para átomos monoatômicos (ex.: gases nobres), cada átomo é tratado como uma partícula pontual sem graus de liberdade rotacionais ou vibracionais relevantes (um átomo único não vibra nem gira como uma molécula diatômica); portanto a única contribuição termodinâmica significativa é a energia cinética de translação.
Pelo teorema da equipartição, cada grau quadrático de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}k_B T por molécula. Um átomo monoatômico tem três graus de liberdade de translação, então a energia média por molécula é
\varepsilon = \frac{3}{2} k_B T.
Para N moléculas a energia interna total é
U = N \cdot \frac{3}{2} k_B T = n \cdot \frac{3}{2} R T,
onde n é o número de mols e R a constante dos gases.
Conclusão sobre III: para um gás ideal monoatômico, a energia interna é composta apenas pela energia cinética de translação, desprezando energia potencial e demais modos (rotacionais/vibracionais). Portanto a afirmação III é verdadeira.
Passo 5
Resumo das avaliações:
I: verdadeira (V).
II: verdadeira (V).
III: verdadeira (V).
Escolhi analisar cada item a partir dos postulados básicos da TCG, usei a dedução da pressão por colisões elásticas, combinei com a equação de estado para ligar temperatura à energia cinética média, e apliquei equipartição e a ausência de outros graus de liberdade para justificar a forma da energia interna em gases monoatômicos.