2 { }^{a} Questão: Para transpor uma depressão no canal adutor de um sistema de irrigação é intercalado um sifão invertido de ferro fundido com coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams C igual a 100, com 100 metros de comprimento. A vazão de projeto. é de 250 \mathrm{l} / \mathrm{s}. Calcule o diâmetro do sifão invertido, considerando as perdas acidentais na entrada ( k=0,5 ) e saída ( k=1,0 ) do conduto, e em 2 curvas de 45^{\circ} ( k=0,30 por curva). A diferença de níveis d’água (N.A’s.) entre os reservatórios de montante e jusante onde o sifão invertido está interligado é de 2,0 metros.

Passo 1

O enunciado pede para achar o diâmetro interno D de um sifão invertido de ferro fundido (coeficiente de Hazen–Williams C=100, comprimento L=100,m) que transporta vazão de projeto Q=250,L/s entre dois reservatórios com desnível de carga H=2{,}0,m. Precisamos usar a fórmula de Hazen–Williams para perda de carga por atrito e somar as perdas localizadas na entrada ( k=0,5), saída ( k=1{,}0) e em duas curvas de 45^\circ ( k=0{,}30 cada), totalizando K=0,5+1{,}0+2\times0{,}30=2{,}1.

Passo 2

Escrevemos a equação de balanço de carga entre montante e jusante igualando a perda total à carga disponível H:
H \;=\; h_f \;+\; \sum h_\mathrm{local}
onde h_f é a perda por atrito (Hazen–Williams) e \sum h_\mathrm{local}=K\,\dfrac{v^2}{2g} são as perdas localizadas.

Passo 3

A perda por atrito pelo método de Hazen–Williams é
h_f \;=\; 10{,}67 \;\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}
e a velocidade média no tubo é dada por
v \;=\;\frac{4\,Q}{\pi\,D^2}\,.

Passo 4

Substituindo v em \sum h_\mathrm{local} e somando em função de D, temos
H \;=\;10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}} \;+\;K\;\frac{\bigl(4Q/(\pi D^2)\bigr)^2}{2g} \;\longrightarrow\; 2{,}0 \;=\;0{,}01622\,D^{-4{,}87} \;+\;0{,}01084\,D^{-4}
onde os coeficientes numéricos resultam de
0{,}01622 = 10{,}67\,\frac{100\,(0{,}25)^{1{,}852}}{100^{1{,}852}} \quad\text{e}\quad 0{,}01084 = 2{,}1\,\frac{8\,(0{,}25)^2}{\pi^2\,9{,}81}\,.

Passo 5

Obtemos então a equação não-linear em D:
2{,}0 = 0{,}01622\,D^{-4{,}87} + 0{,}01084\,D^{-4}.

Passo 6

Resolvemos numericamente por tentativa e aproximação (por exemplo método da bisseção ou iterações):
  • Para D=0{,}39,m, o termo de atrito é \approx1{,}55,m e o local \approx0{,}46,m, dando soma \approx2{,}01,m.
  • Para D=0{,}40,m, a soma cai para \approx1{,}83,m.

Passo 7

Interpolando entre 0{,}39 e 0{,}40,m encontramos a raiz em
D \approx 0{,}392\;\text{m}.

Resposta

O diâmetro interno do sifão invertido é
D \approx 0{,}39\;\text{m}
(adote-se comercialmente D=0{,}40,m).

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