A thermal storage is made with a rock (granite) bed of 2 \mathrm{~m}^{3} which is heated to 400 K using solar energy. A heat engine receives a \mathrm{Q}_{\mathrm{H}} from the bed and rejects heat to the ambient at 290 K . The rock bed therefore cools down and as it reaches 290 K the process stops. Find the energy the rock bed can give out. What is the heat engine efficiency at the beginning of the process and what is it at the end of the process?

Passo 1

Temos um leito de rocha (granito) de volume \,2\;\mathrm{m^3} aquecido a 400\;\mathrm K. Um motor térmico retira calor \,Q_H desse leito e rejeita ao ambiente a 290\;\mathrm K, até que o leito esfrie a 290\;\mathrm K. Precisamos calcular (a) a energia que o leito pode fornecer e (b) a eficiência do motor no início e no fim do processo.

Passo 2

Estimamos as propriedades do granito: densidade \rho\approx2700\;\mathrm{kg/m^3} e calor específico c_p\approx800\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}. A massa do leito é
m = \rho \times V = 2700\;\mathrm{kg/m^3}\times2\;\mathrm{m^3}=5400\;\mathrm{kg}.

Passo 3

O calor total extraído do leito ao resfriar de 400\;\mathrm K a 290\;\mathrm K é
Q = m\,c_p\,(T_{\rm in} - T_{\rm fin}) = 5400\;\kg \times 800\;\frac{\J}{\kg\cdot K}\times(400-290)\;\mathrm K =4{,}752\times10^8\;\J.

Passo 4

O trabalho máximo extraível por um ciclo reversível (Carnot) variável de temperatura é
W_{\max} = m\,c_p\int_{T_{\rm fin}}^{T_{\rm in}}\Bigl(1-\frac{T_{\rm amb}}{T}\Bigr)\,dT = m\,c_p\Bigl[(T_{\rm in}-T_{\rm fin}) - T_{\rm amb}\ln\frac{T_{\rm in}}{T_{\rm fin}}\Bigr].
Substituindo T_{\rm in}=400\;\mathrm K, T_{\rm fin}=T_{\rm amb}=290\;\mathrm K:
W_{\max} =5400\cdot800\Bigl[110 - 290\ln\frac{400}{290}\Bigr] \approx7{,}21\times10^7\;\J.

Passo 5

A eficiência instantânea de Carnot é
\eta(T) =1-\frac{T_{\rm amb}}{T}.
No início ( T=400\;\mathrm K):
\eta_{\rm in} =1-\frac{290}{400}=0{,}275\;(27{,}5\%).
No fim ( T=290\;\mathrm K):
\eta_{\rm fin} =1-\frac{290}{290}=0\;(0\%).

Resposta

Energia total fornecida pelo leito:
Q=4{,}75\times10^8\;\J\quad(\text{\approx}475{,}2\;\mathrm{MJ}).
Trabalho máximo (exergia):
W_{\max}\approx7{,}21\times10^7\;\J\quad(\text{\approx}72{,}1\;\mathrm{MJ}).
Eficiência do motor no início: 27{,}5\%.
Eficiência do motor no fim: 0\%.

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