Questão 5

a. Usando a definição de transformada de Laplace, calcular mathscrL(cos (2 t)).
b. Usando o método de transformada de Laplace, resolver o problema seguinte :
l y^prime prime-y^prime-2 y=cos (2 t) y(0)=2 y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro a transformada de Laplace de cos(2t) usando a definição integral, e depois usar transformada de Laplace para resolver a EDO y''-y'-2y=cos(2t) com y(0)=2 e y'(0)=0. Vamos precisar lembrar a definição mathscrLf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt, propriedades de derivadas e técnicas de frações parciais.

Passo 2

Para achar mathscrLcos(2t)=integral0^inftye^-stcos(2t),dt podemos usar a identidade de números complexos ou integrar por partes. Usando a fórmula conhecida ou a parte real de integral0^inftye^-(s-i2)tdt=1/(s-i2), obtemos
mathscrLcos(2t)=ss^2+4,,

Passo 3

Para a EDO, aplicamos mathscrL em cada termo:
mathscrLy''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),mathscrLy'=sY(s)-y(0),mathscrLy=Y(s)
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(s^2Y-2s)-(sY-2)-2Y=ss^2+4

Passo 4

Simplificando,
(s^2-s-2)Y(s)-(2s-2)=ss^2+4Rightarrow Y(s)=ss^2+4+2s-2(s-2)(s+1)

Passo 5

Fazendo frações parciais em duas partes — primeiro (2s-2)/[(s-2)(s+1)] e depois s/[(s^2+4)(s-2)(s+1)] — chegamos a
Y(s)=3/4s-2+7/5s+1+-tfrac320s-tfrac110s^2+4

Passo 6

Invertendo cada termo com tabelas, lembrando que mathscrL^-11/(s-a)=e^at, mathscrL^-1s/(s^2+4)=cos(2t) e mathscrL^-11/(s^2+4)=tfrac12sin(2t), obtemos
y(t)=34e^2t+75e^-t-320cos(2t)-120sin(2t)

Resposta

a) mathscrLcos(2t)=ss^2+4. b) y(t)=tfrac34e^2t+tfrac75e^-t-tfrac320cos(2t)-tfrac120sin(2t).

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