a. Usando a definição de transformada de Laplace, calcular .
b. Usando o método de transformada de Laplace, resolver o problema seguinte :
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro a transformada de Laplace de cos(2t) usando a definição integral, e depois usar transformada de Laplace para resolver a EDO y''-y'-2y=cos(2t) com y(0)=2 e y'(0)=0. Vamos precisar lembrar a definição mathscrLf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt, propriedades de derivadas e técnicas de frações parciais.
Passo 2
Para achar mathscrLcos(2t)=integral0^inftye^-stcos(2t),dt podemos usar a identidade de números complexos ou integrar por partes. Usando a fórmula conhecida ou a parte real de integral0^inftye^-(s-i2)tdt=1/(s-i2), obtemos
mathscrLcos(2t)=ss^2+4,,
Passo 3
Para a EDO, aplicamos mathscrL em cada termo:
mathscrLy''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),mathscrLy'=sY(s)-y(0),mathscrLy=Y(s)
Logo (s^2Y-2s)-(sY-2)-2Y=ss^2+4