Questão 7. Usando leis para determinar parâmetros como corrente elétrica ou potencial elétrico de circuitos complexos, podemos escrever um sistema de equações lineares que governam o circuito. Se x_{1}, x_{2}, x_{3} e x_{4} são as correntes nas malhas, considere o sistema abaixo e primeiramente escreva-o em linguagem matricial determinando qual a matriz A, e quais os vetores de incógnitas e de resultados.
Agora escolha um método numérico e encontre a solução aproximada desse sistema, determinando quais são os valores das correntes nas malhas.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com incógnitas \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\;\) e pede primeiro escrever em forma matricial e depois encontrar a solução numérica (as correntes nas malhas). As equações são:
\[\begin{cases} 15x_{1}-2x_{2}-6x_{3}=300,\\[4pt] -2x_{1}+12x_{2}-4x_{3}-x_{4}=0,\\[4pt] -6x_{1}-4x_{2}+19x_{3}-9x_{4}=0,\\[4pt] -x_{2}-9x_{3}+21x_{4}=0. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
As incógnitas são \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\;\] (correntes nas malhas).
- O termo independente (vetor de resultados) tem componentes \(300,0,0,0.
O que se pede:
- Escrever o sistema em forma matricial \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}\;, identificando matriz A, vetor incógnitas e vetor resultados.
- Escolher um método numérico e obter a solução aproximada (valores de \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\;).]
Passo 2
Escrevendo em linguagem matricial: o sistema pode ser escrito como \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}\; com
Ou seja, A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x} é o vetor incógnita e \mathbf{b} o vetor de termos constantes.]
Passo 3
Escolha do método: vou usar o método direto da Eliminação de Gauss (eliminação por pivoteamento simples sem troca de linhas aqui porque todos os pivôs escolhidos são não nulos e suficientemente grandes) seguido de retro-substituição. Justificativa curta e didática:
A eliminação de Gauss é um método elementar e determinístico que transforma o sistema em forma triangular superior através de operações elementares sobre linhas (essas operações preservam o conjunto de soluções).
Depois de triangularizar, resolve-se facilmente por retro-substituição.
Para um sistema 4\times4 é prático e dá resultados exatos em forma racional, que depois arredondamos para obter aproximações numéricas.
Vou mostrar passo a passo a eliminação (cada operação é do tipo R_j \leftarrow R_j - (\text{fator})\cdot R_i).
Passo 4
Montamos a matriz aumentada inicial [A\;|\;\mathbf{b}]: