Questão 7. Usando leis para determinar parâmetros como corrente elétrica ou potencial elétrico de circuitos complexos, podemos escrever um sistema de equações lineares que governam o circuito. Se x_{1}, x_{2}, x_{3} e x_{4} são as correntes nas malhas, considere o sistema abaixo e primeiramente escreva-o em linguagem matricial determinando qual a matriz A, e quais os vetores de incógnitas e de resultados.
\left\{\begin{array}{rlcl} 15 x_{1}-2 x_{2}-6 x_{3} & =300 \\\\ -2 x_{1}+12 x_{2}-4 x_{3}-x_{4} & =0 \\\\ -6 x_{1}-4 x_{2}+19 x_{3}-9 x_{4} & =0 \\\\ -x_{2}-9 x_{3}+21 x_{4} & =0 \end{array}\right.
Agora escolha um método numérico e encontre a solução aproximada desse sistema, determinando quais são os valores das correntes nas malhas.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\;\) e pede primeiro escrever em forma matricial e depois encontrar a solução numérica (as correntes nas malhas). As equações são: \[\begin{cases} 15x_{1}-2x_{2}-6x_{3}=300,\\[4pt] -2x_{1}+12x_{2}-4x_{3}-x_{4}=0,\\[4pt] -6x_{1}-4x_{2}+19x_{3}-9x_{4}=0,\\[4pt] -x_{2}-9x_{3}+21x_{4}=0. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • As incógnitas são \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\;\] (correntes nas malhas). - O termo independente (vetor de resultados) tem componentes \(300,0,0,0.
    O que se pede:
    - Escrever o sistema em forma matricial \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}\;, identificando matriz A, vetor incógnitas e vetor resultados.
    - Escolher um método numérico e obter a solução aproximada (valores de \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\;).]

Passo 2

Escrevendo em linguagem matricial: o sistema pode ser escrito como \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}\; com
A=\begin{pmatrix} 15 & -2 & -6 & 0\\[4pt] -2 & 12 & -4 & -1\\[4pt] -6 & -4 & 19 & -9\\[4pt] 0 & -1 & -9 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}300\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Ou seja, A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x} é o vetor incógnita e \mathbf{b} o vetor de termos constantes.]

Passo 3

Escolha do método: vou usar o método direto da Eliminação de Gauss (eliminação por pivoteamento simples sem troca de linhas aqui porque todos os pivôs escolhidos são não nulos e suficientemente grandes) seguido de retro-substituição. Justificativa curta e didática:
  • A eliminação de Gauss é um método elementar e determinístico que transforma o sistema em forma triangular superior através de operações elementares sobre linhas (essas operações preservam o conjunto de soluções).
  • Depois de triangularizar, resolve-se facilmente por retro-substituição.
  • Para um sistema 4\times4 é prático e dá resultados exatos em forma racional, que depois arredondamos para obter aproximações numéricas.
Vou mostrar passo a passo a eliminação (cada operação é do tipo R_j \leftarrow R_j - (\text{fator})\cdot R_i).

Passo 4

Montamos a matriz aumentada inicial [A\;|\;\mathbf{b}]:
\left[\begin{array}{cccc|c} 15 & -2 & -6 & 0 & 300\\[4pt] -2 & 12 & -4 & -1 & 0\\[4pt] -6 & -4 & 19 & -9 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -9 & 21 & 0 \end{array}\right]
Pivô na primeira coluna é a_{11}=15. Eliminamos as entradas abaixo (coluna 1):
Fator para anular a_{21}: \displaystyle f_{21}=\frac{-2}{15}=-\tfrac{2}{15}.
Atualização R_2\leftarrow R_2 - f_{21}R_1 = R_2 + \tfrac{2}{15}R_1. Resultado para R_2:
R_2:\quad \bigl[\,0,\;\tfrac{176}{15},\;-\tfrac{72}{15},\;-1\;\bigm|\;40\,\bigr].
Fator para anular a_{31}: \displaystyle f_{31}=\frac{-6}{15}=-\tfrac{2}{5}.
Atualização R_3\leftarrow R_3 - f_{31}R_1 = R_3 + \tfrac{2}{5}R_1. Resultado para R_3:
R_3:\quad \bigl[\,0,\;-\tfrac{24}{5},\;\tfrac{83}{5},\;-9\;\bigm|\;120\,\bigr].
R_4 já tem a_{41}=0, permanece:
R_4:\quad \bigl[\,0,\;-1,\;-9,\;21\;\bigm|\;0\,\bigr].
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 15 & -2 & -6 & 0 & 300\\[4pt] 0 & \tfrac{176}{15} & -\tfrac{72}{15} & -1 & 40\\[4pt] 0 & -\tfrac{24}{5} & \tfrac{83}{5} & -9 & 120\\[4pt] 0 & -1 & -9 & 21 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora pivô na segunda linha é a_{22}=\tfrac{176}{15}. Eliminamos abaixo (coluna 2).
Fator para anular a_{32}: \displaystyle f_{32}=\frac{-\tfrac{24}{5}}{\tfrac{176}{15}}=\frac{-24/5}{176/15}=-\frac{9}{22}.
Atualização R_3\leftarrow R_3 - f_{32}R_2. Calculando os novos coeficientes (faço as contas passo a passo):
  • Novo a_{33}=\tfrac{83}{5} - f_{32}\cdot\bigl(-\tfrac{72}{15}\bigr) =\tfrac{83}{5} -\bigl(-\tfrac{9}{22}\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{72}{15}\bigr) =\tfrac{83}{5} - \tfrac{108}{55} =\tfrac{161}{11}.
  • Novo a_{34}=-9 - f_{32}\cdot(-1) = -9 - \tfrac{9}{22} = -\tfrac{207}{22}.
  • Novo termo independente b_3=120 - f_{32}\cdot 40 = 120 + \tfrac{9}{22}\cdot 40 = \tfrac{1500}{11}.
Então
R_3:\quad \bigl[\,0,\;0,\;\tfrac{161}{11},\;-\tfrac{207}{22}\;\bigm|\;\tfrac{1500}{11}\,\bigr].
Fator para anular a_{42}: \displaystyle f_{42}=\frac{-1}{176/15}=-\tfrac{15}{176}.
Atualização R_4\leftarrow R_4 - f_{42}R_2. Calculando:
  • Novo a_{44}=21 - f_{42}\cdot(-1) =21 - \tfrac{15}{176} = \tfrac{3681}{176}.
  • Novo a_{43}=-9 - f_{42}\cdot(-\tfrac{72}{15}) = -9 - \tfrac{9}{22} = -\tfrac{207}{22}.
  • Novo b_4 = 0 - f_{42}\cdot 40 = \tfrac{75}{22}.
Então
R_4:\quad \bigl[\,0,\;0,\;-\tfrac{207}{22},\;\tfrac{3681}{176}\;\bigm|\;\tfrac{75}{22}\,\bigr].
A matriz aumentada agora é triangular por colunas 1 e 2:
\left[\begin{array}{cccc|c} 15 & -2 & -6 & 0 & 300\\[4pt] 0 & \tfrac{176}{15} & -\tfrac{72}{15} & -1 & 40\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{161}{11} & -\tfrac{207}{22} & \tfrac{1500}{11}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{207}{22} & \tfrac{3681}{176} & \tfrac{75}{22} \end{array}\right].]

Passo 6

Pivô na terceira linha é a_{33}=\tfrac{161}{11}. Eliminamos em R_4 a entrada da coluna 3.
Fator para anular a_{43}: \displaystyle f_{43}=\frac{-\tfrac{207}{22}}{\tfrac{161}{11}}=-\tfrac{9}{14}.
Atualização R_4\leftarrow R_4 - f_{43}R_3. Calculando:
  • Novo a_{44}=\tfrac{3681}{176} - f_{43}\cdot\bigl(-\tfrac{207}{22}\bigr) =\tfrac{3681}{176} - \bigl(-\tfrac{9}{14}\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{207}{22}\bigr) =\tfrac{18315}{1232}.
  • Novo b_4=\tfrac{75}{22} - f_{43}\cdot\bigl(\tfrac{1500}{11}\bigr) =\tfrac{14025}{154}.
Assim a última linha fica
R_4:\quad \bigl[\,0,\;0,\;0,\;\tfrac{18315}{1232}\;\bigm|\;\tfrac{14025}{154}\,\bigr].
Agora a matriz está em forma triangular superior; pronto para retro-substituição.

Passo 7

Retro-substituição (resolver de baixo para cima).
Da última linha (linha 4):
\tfrac{18315}{1232}\,x_{4}=\tfrac{14025}{154}.
Logo
x_{4}=\frac{\tfrac{14025}{154}}{\tfrac{18315}{1232}} =\frac{14025}{154}\cdot\frac{1232}{18315}.
Simplificando a fração obtém-se
x_{4}=\frac{680}{111}\approx 6{,}126126\ldots
(nota: o decimal 6{,}126126… é periódico com repetição dos dígitos 126).

Passo 8

Agora usar a equação da terceira linha para x_{3}:
\tfrac{161}{11}\,x_{3}-\tfrac{207}{22}\,x_{4}=\tfrac{1500}{11}.
Isolando x_{3}:
x_{3}=\frac{\tfrac{1500}{11}+\tfrac{207}{22}\,x_{4}}{\tfrac{161}{11}} =\left(\tfrac{1500}{11}+\tfrac{207}{22}\cdot\frac{680}{111}\right)\cdot\frac{11}{161}.
Fazendo as contas fracionárias (como mostrei nos passos anteriores) chega-se a
x_{3}=\frac{868560}{65527}\approx 13{,}25499412.

Passo 9

Em seguida usamos a segunda linha para x_{2}. A segunda linha (na forma já reduzida) é
\tfrac{176}{15}\,x_{2}-\tfrac{72}{15}\,x_{3}-x_{4}=40.
Isolando x_{2}:
x_{2}=\frac{40+\tfrac{72}{15}\,x_{3}+x_{4}}{\tfrac{176}{15}} =\left(40+\tfrac{24}{5}\,x_{3}+x_{4}\right)\cdot\frac{15}{176}.
Substituindo os valores de x_{3} e x_{4} e calculando dá
x_{2}\approx 9{,}35370152.

Passo 10

Finalmente usamos a primeira equação para x_{1}:
15x_{1}-2x_{2}-6x_{3}=300,
portanto
x_{1}=\frac{300+2x_{2}+6x_{3}}{15}.
Substituindo os valores numéricos encontrados para x_{2} e x_{3} obtém-se
x_{1}\approx 26{,}54849118.

Resposta

x_{1}=26{,}548491
x_{2}=9{,}353702
x_{3}=13{,}254994
x_{4}=6{,}126126

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