Questão 6. Resolva os sistemas abaixo utilizando o método da fatoração LU:
\left\{\begin{aligned}3 x_{1}-4 x_{2}+x_{3} & =2 \x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3} & =2 \\\ 4 x_{1}-3 x_{3} & =2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo utilizando o método da fatoração LU:
\begin{cases} 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=2,\\[4pt] 4x_{1}-3x_{3}=2. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 3 & -4 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 2\\[4pt] 4 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
  • O vetor do lado direito é
b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} resolvendo A x=b por fatoração A=LU (onde L é triangular inferior com diag. iguais a 1 e U é triangular superior), e então usar substituições para obter x.]

Passo 2

Explicando o método LU (Doolittle) de maneira bem prática e a fórmula que vamos usar:
  • Queremos escrever A=LU com
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
  • Fórmulas gerais (Doolittle):
    • Para entradas de U com i\le j:
    u_{ij}=a_{ij}-\sum_{s=1}^{i-1}\ell_{is}\,u_{sj}.
    • Para entradas de L com i>j:
    \ell_{ij}=\frac{a_{ij}-\sum_{s=1}^{j-1}\ell_{is}\,u_{sj}}{u_{jj}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a_{ij} é o elemento da matriz A na linha i, coluna j.
  • \ell_{ij} é o elemento da matriz L na linha i, coluna j.
  • u_{ij} é o elemento da matriz U na linha i, coluna j.
    Essas fórmulas expressam que, ao formar LU, cada elemento de A é reconstruído por combinações já calculadas de L e U. Vamos aplicar passo a passo.]

Passo 3

Começamos calculando a primeira coluna/linha úteis:
  • u_{11}=a_{11}=3.
  • \ell_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{1}{3}.
  • \ell_{31}=\dfrac{a_{31}}{u_{11}}=\dfrac{4}{3}.
    Também obtemos imediatamente (pela fórmula de U com i=1):
  • u_{12}=a_{12}=-4.
  • u_{13}=a_{13}=1.

Passo 4

Agora calculamos os elementos da segunda linha/coluna de U e L:
  • Para u_{22} usamos u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}. Substituindo:
u_{22}=2-\left(\dfrac{1}{3}\right)(-4)=2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{6+4}{3}=\dfrac{10}{3}.
  • Para u_{23} usamos u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}. Substituindo:
u_{23}=2-\left(\dfrac{1}{3}\right)(1)=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{6-1}{3}=\dfrac{5}{3}.
  • Para \ell_{32} usamos a fórmula de L:
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}}=\frac{0-\left(\dfrac{4}{3}\right)(-4)}{\tfrac{10}{3}}=\frac{\tfrac{16}{3}}{\tfrac{10}{3}}=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}.

Passo 5

Finalmente calculamos u_{33} usando a fórmula de U com i=3,j=3:
u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}.
Substituindo os valores já encontrados:
u_{33}=-3-\left(\dfrac{4}{3}\right)\cdot 1 - \left(\dfrac{8}{5}\right)\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right) = -3-\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}.
Somando as frações:
-3-\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}=-3-\dfrac{12}{3}=-3-4=-7.

Passo 6

Resumindo L e U encontrados:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \dfrac{1}{3} & 1 & 0\\[6pt] \dfrac{4}{3} & \dfrac{8}{5} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 3 & -4 & 1\\[4pt] 0 & \dfrac{10}{3} & \dfrac{5}{3}\\[6pt] 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}.
É sempre bom checar mentalmente se a multiplicação LU reconstrói A; os cálculos acima seguem as fórmulas padrão, então estamos prontos para usar LUx=b.]

Passo 7

Resolvemos primeiro L y=b\) (substituição progressiva, porque \(L\) é triangular inferior). Escrevendo as equações: \[\begin{cases} y_{1}=2,\\[4pt] \dfrac{1}{3}y_{1}+y_{2}=2,\\[6pt] \dfrac{4}{3}y_{1}+\dfrac{8}{5}y_{2}+y_{3}=2. \end{cases}
Calculando passo a passo:
  • y_{1}=2.\] - \(y_{2}=2-\dfrac{1}{3}y_{1}=2-\dfrac{1}{3}\cdot 2=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}.
    - y_{3}=2-\dfrac{4}{3}y_{1}-\dfrac{8}{5}y_{2} =2-\dfrac{4}{3}\cdot 2-\dfrac{8}{5}\cdot \dfrac{4}{3}.
    Calcule cada termo:
\dfrac{4}{3}\cdot 2=\dfrac{8}{3},\qquad \dfrac{8}{5}\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{32}{15}.
Colocando em denominador comum 15:
y_{3}=\dfrac{30}{15}-\dfrac{40}{15}-\dfrac{32}{15}=\dfrac{30-72}{15}=\dfrac{-42}{15}=-\dfrac{14}{5}.
Portanto
y=\begin{pmatrix}2\\[4pt]\dfrac{4}{3}\\[6pt]-\dfrac{14}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resolvemos U x = y\) por substituição regressiva (pois \(U\) é triangular superior). As equações são: \[\begin{cases} 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=y_{1}=2,\\[4pt] \dfrac{10}{3}x_{2}+\dfrac{5}{3}x_{3}=y_{2}=\dfrac{4}{3},\\[6pt] -7x_{3}=y_{3}=-\dfrac{14}{5}. \end{cases}
Começando por x_{3}\]: \[x_{3}=\frac{y_{3}}{u_{33}}=\frac{-\tfrac{14}{5}}{-7}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}.\] Agora \(x_{2}:
x_{2}=\frac{y_{2}-u_{23}x_{3}}{u_{22}} =\frac{\tfrac{4}{3}-\tfrac{5}{3}\cdot \tfrac{2}{5}}{\tfrac{10}{3}} =\frac{\tfrac{4}{3}-\tfrac{2}{3}}{\tfrac{10}{3}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{10}{3}} =\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.
Finalmente x_{1}:
x_{1}=\frac{y_{1}-u_{12}x_{2}-u_{13}x_{3}}{u_{11}} =\frac{2-(-4)\cdot \tfrac{1}{5}-1\cdot \tfrac{2}{5}}{3}.
Calcule o numerador:
2+ \dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{5}=2+\dfrac{2}{5}=\dfrac{12}{5}.
Portanto
x_{1}=\frac{\tfrac{12}{5}}{3}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.]

Resposta

\,x_{1}=\dfrac{4}{5}
\,x_{2}=\dfrac{1}{5}
\,x_{3}=\dfrac{2}{5}

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