O que se pede: encontrar x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} resolvendo A x=b por fatoração A=LU (onde L é triangular inferior com diag. iguais a 1 e U é triangular superior), e então usar substituições para obter x.]
Passo 2
Explicando o método LU (Doolittle) de maneira bem prática e a fórmula que vamos usar:
a_{ij} é o elemento da matriz A na linha i, coluna j.
\ell_{ij} é o elemento da matriz L na linha i, coluna j.
u_{ij} é o elemento da matriz U na linha i, coluna j.
Essas fórmulas expressam que, ao formar LU, cada elemento de A é reconstruído por combinações já calculadas de L e U. Vamos aplicar passo a passo.]
Passo 3
Começamos calculando a primeira coluna/linha úteis:
u_{11}=a_{11}=3.
\ell_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{1}{3}.
\ell_{31}=\dfrac{a_{31}}{u_{11}}=\dfrac{4}{3}.
Também obtemos imediatamente (pela fórmula de U com i=1):
u_{12}=a_{12}=-4.
u_{13}=a_{13}=1.
Passo 4
Agora calculamos os elementos da segunda linha/coluna de U e L:
Para u_{22} usamos u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}. Substituindo:
É sempre bom checar mentalmente se a multiplicação LU reconstrói A; os cálculos acima seguem as fórmulas padrão, então estamos prontos para usar LUx=b.]
Passo 7
Resolvemos primeiro L y=b\) (substituição progressiva, porque \(L\) é triangular inferior).
Escrevendo as equações:
\[\begin{cases} y_{1}=2,\\[4pt] \dfrac{1}{3}y_{1}+y_{2}=2,\\[6pt] \dfrac{4}{3}y_{1}+\dfrac{8}{5}y_{2}+y_{3}=2. \end{cases}
Agora resolvemos U x = y\) por substituição regressiva (pois \(U\) é triangular superior). As equações são:
\[\begin{cases} 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=y_{1}=2,\\[4pt] \dfrac{10}{3}x_{2}+\dfrac{5}{3}x_{3}=y_{2}=\dfrac{4}{3},\\[6pt] -7x_{3}=y_{3}=-\dfrac{14}{5}. \end{cases}
Começando por x_{3}\]:
\[x_{3}=\frac{y_{3}}{u_{33}}=\frac{-\tfrac{14}{5}}{-7}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}.\]
Agora \(x_{2}: