O enunciado dá um sistema linear de três equações com três incógnitas e pede que seja resolvido usando fatoração LU. Vou listar claramente o que o enunciado fornece (escrevi os coeficientes em forma matricial porque facilita a fatoração).
O que o enunciado pede: encontrar x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} resolvendo A x=b através da fatoração A=LU, seguida de resolução de L y=b e U x=y.]
Passo 2
Breve explicação didática do método LU (esquema que vou usar, chamado de Doolittle):
Queremos escrever A como produto A=LU, onde L é triangular inferior com 1 s na diagonal e U é triangular superior.
Operacionalmente isso equivale a aplicar eliminação de Gauss sem permutações (sem pivotamento), e guardar os multiplicadores usados para zerar abaixo do pivô na matriz L.
Se u_{kk} é o pivô na coluna k, o multiplicador para zerar a linha i>k é
\ell_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{u_{kk}},
onde a_{ik}^{(k)} é o elemento atual antes de zerar. Depois se atualizam as linhas: linha i := linha i-\ell_{ik}\times linha k. No final obtemos U como a forma escalonada superior e L com esses \ell_{ik} abaixo da diagonal e 1 na diagonal.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo à matriz A dada.
Passo 3
Primeira etapa da eliminação (coluna 1):
O primeiro pivô é u_{11}=a_{11}=3 (é diferente de zero, então não precisamos pivotar).
Calculam-se os multiplicadores para zerar as entradas abaixo de u_{11}:
Pequena verificação mental: os multiplicadores \tfrac{1}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{5} são exatamente os elementos de L abaixo da diagonal; a forma triangular de U está como esperado.]
Passo 5
Agora resolvemos L y=b por substituição direta (forward substitution). Escrevendo y=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T} temos: