Questão 2
Usando as séries geométricas, provar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o número decimal periódico 0,999… é igual a 1 usando séries geométricas. O conteúdo envolvido é soma de séries geométricas infinitas e vamos precisar da fórmula da soma da série geométrica e do conceito de limite.
Passo 2
Observamos que
0,999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ⋯
isso é a série infinita
0,999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ⋯
isso é a série infinita
Aqui temos uma série geométrica com termo inicial
e razão
.
Passo 3
Para aplicar a fórmula de soma parcial de uma PG, definimos o somatório até o termo
:
Pela fórmula da soma de uma PG finita, temos
Passo 4
Como
, o termo
tende a zero quando
. Logo, o limite da soma parcial é
Isto mostra que a soma infinita converge exatamente a 1.
Passo 5
Portanto, concluímos que o decimal periódico 0,999… é igual a 1.
Resposta
0,999… = 1