Questão 2

Usando as séries geométricas, provar que 0,9999999999 ldots ldots=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número decimal periódico 0,999… é igual a 1 usando séries geométricas. O conteúdo envolvido é soma de séries geométricas infinitas e vamos precisar da fórmula da soma da série geométrica e do conceito de limite.

Passo 2

Observamos que
0,999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ⋯
isso é a série infinita
sumk=1^infty 9cdot10^-k
Aqui temos uma série geométrica com termo inicial a = 9cdot10^-1=0,9 e razão r=10^-1=0,1.

Passo 3

Para aplicar a fórmula de soma parcial de uma PG, definimos o somatório até o termo n:
Sn = sumk=1^n 9cdot10^-k = 0,9 + 0,09 + cdots + 9cdot10^-n
Pela fórmula da soma de uma PG finita, temos
Sn = a 1 - r^n1 - r = 9cdot10^-11 - (10^-1)^n1 - 10^-1

Passo 4

Como |r| = 0,1 < 1, o termo r^n = (10^-1)^n tende a zero quando n to infty. Logo, o limite da soma parcial é
limntoinfty Sn = 9cdot10^-1 1 - 01 - 10^-1 = 0,90,9 = 1
Isto mostra que a soma infinita converge exatamente a 1.

Passo 5

Portanto, concluímos que o decimal periódico 0,999… é igual a 1.

Resposta

0,999… = 1

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