Sendo
e
dois números inteiros, responda: (Valor: 1,0 )
a) Que nome se dá a um inteiro
tal que
?
b) Quando
, qual é a relação existente entre m e n?
c) Em que caso ocorre
?
d) Em que caso ocorre
?
e) Que nome se dá a um inteiro
tal que
?
a) Que nome se dá a um inteiro
b) Quando
c) Em que caso ocorre
d) Em que caso ocorre
e) Que nome se dá a um inteiro
Passo 1
O enunciado trata dos conjuntos
e
de divisores de
e
, e dos conjuntos
e
de múltiplos de
e
.
Precisamos usar conceitos de divisibilidade, máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc) para responder às questões sobre interseção e inclusão desses conjuntos.
Precisamos usar conceitos de divisibilidade, máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc) para responder às questões sobre interseção e inclusão desses conjuntos.
Passo 2
Para todo inteiro
tal que
esse
deve ser o maior inteiro que divide simultaneamente
e
. Por definição, esse inteiro é o máximo divisor comum,
.
Passo 3
Se
então o único divisor comum de
e
é
. Logo
e dizemos que
e
são primos entre si (ou coprimos).
Passo 4
Temos
se, e somente se, todo múltiplo de
for também múltiplo de
. Isso ocorre exatamente quando
divide
, isto é,
Passo 5
Sabe-se em teoria de múltiplos que
Para que isso seja igual a
, basta que
o que acontece se, e somente se,
, isto é,
e
são coprimos.
Passo 6
O inteiro
definido por
é, em geral, o mínimo múltiplo comum de
e
, ou seja,
Resposta
a) Esse inteiro
é o máximo divisor comum de
e
.
b) Quando ,
e
são primos entre si (
).
c) ocorre se, e somente se,
.
d) ocorre exatamente quando
.
e) Esse inteiro é o mínimo múltiplo comum de
e
, ou seja,
.
b) Quando
c)
d)
e) Esse inteiro