Sendo m e n dois números inteiros, responda: (Valor: 1,0 )
a) Que nome se dá a um inteiro s tal que \mathrm{D}(\mathrm{m}) \cap \mathrm{D}(\mathrm{n})=\mathrm{D}(\mathrm{s}) ?
b) Quando D(m) \cap D(n)=\{1,-1\}, qual é a relação existente entre m e n?
c) Em que caso ocorre \mathrm{M}(\mathrm{m}) \subset \mathrm{M}(\mathrm{n}) ?
d) Em que caso ocorre \mathrm{M}(\mathrm{m}) \cap \mathrm{M}(\mathrm{n})=\mathrm{M}(\mathrm{mn}) ?
e) Que nome se dá a um inteiro t tal que M(m) \cap M(n)=M(t) ?

Passo 1

O enunciado trata dos conjuntos
\mathrm{D}(m) e \mathrm{D}(n) de divisores de m e n, e dos conjuntos
\mathrm{M}(m) e \mathrm{M}(n) de múltiplos de m e n.
Precisamos usar conceitos de divisibilidade, máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc) para responder às questões sobre interseção e inclusão desses conjuntos.

Passo 2

Para todo inteiro s tal que
\mathrm{D}(m)\cap\mathrm{D}(n)=\mathrm{D}(s),
esse s deve ser o maior inteiro que divide simultaneamente m e n. Por definição, esse inteiro é o máximo divisor comum, \gcd(m,n).

Passo 3

Se
\mathrm{D}(m)\cap\mathrm{D}(n)=\{1,-1\},
então o único divisor comum de m e n é \pm1. Logo
\gcd(m,n)=1
e dizemos que m e n são primos entre si (ou coprimos).

Passo 4

Temos
\mathrm{M}(m)\subset\mathrm{M}(n)
se, e somente se, todo múltiplo de m for também múltiplo de n. Isso ocorre exatamente quando n divide m, isto é,
n\mid m.

Passo 5

Sabe-se em teoria de múltiplos que
\mathrm{M}(m)\cap\mathrm{M}(n)=\mathrm{M}\bigl(\mathrm{lcm}(m,n)\bigr).
Para que isso seja igual a \mathrm{M}(mn), basta que
\mathrm{lcm}(m,n)=mn,
o que acontece se, e somente se, \gcd(m,n)=1, isto é, m e n são coprimos.

Passo 6

O inteiro t definido por
\mathrm{M}(m)\cap\mathrm{M}(n)=\mathrm{M}(t)
é, em geral, o mínimo múltiplo comum de m e n, ou seja,
t=\mathrm{lcm}(m,n).

Resposta

a) Esse inteiro s é o máximo divisor comum de m e n.
b) Quando \mathrm{D}(m)\cap\mathrm{D}(n)=\{1,-1\}, m e n são primos entre si ( \gcd(m,n)=1).
c) \mathrm{M}(m)\subset\mathrm{M}(n) ocorre se, e somente se, n\mid m.
d) \mathrm{M}(m)\cap\mathrm{M}(n)=\mathrm{M}(mn) ocorre exatamente quando \gcd(m,n)=1.
e) Esse inteiro t é o mínimo múltiplo comum de m e n, ou seja, t=\mathrm{lcm}(m,n).

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