Explique sob que princípio é obtido os Métodos de Runge-Kutta.
Passo 1
O enunciado pede que a gente explique de onde vêm os Métodos de Runge-Kutta. Isso pertence à matéria de Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para entender a construção, vamos precisar lembrar:
- O que é um problema de valor inicial
, . - A ideia da expansão em série de Taylor para aproximar
.
Passo 2
Antes de ver o Runge-Kutta, bora lembrar o truque da série de Taylor. Se a solução
for bem comportada, para um passo
a frente temos:
Mas na prática a gente não conhece
só como
e nem sempre sabe calcular
de forma simples. A sacada do Runge-Kutta é: em vez de diferenciar várias vezes, a gente faz várias “amostras” de
em pontos intermediários e combina tudo com pesos certos para reproduzir até certo grau da Taylor.
Passo 3
Pensa assim: pra dar um passo de
até
, vamos calcular alguns “slopes” (declives)
k1 = f(t_n, y_n)
k2, k3, …, dependendo da ordem. Cada ki é avaliado em um ponto intermediário onde a gente já “chutou” um valor de
. Depois a gente faz uma média ponderada desses ki. Por exemplo, no clássico Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4):
k1 = f(t_n, y_n)
k2, k3, …, dependendo da ordem. Cada ki é
e então
Os coeficientes
vêm de exigir que a fórmula dê certo até a ordem
na expansão de Taylor.
Passo 4
Resumindo tecnicamente, o princípio é:
- A gente quer aproximar a solução de
usando apenas avaliações de . - Faz várias avaliações em pontos bem escolhidos para capturar informação de derivadas superiores.
- Combina essas avaliações com pesos determinados para que o erro local seja de ordem desejada (ex.:
para RK4).
Esse é o fundamento de todos os Métodos de Runge-Kutta: média ponderada de slopes alinhada com a expansão de Taylor da solução.
Resposta
Os Métodos de Runge-Kutta são obtidos a partir da ideia de aproximar
usando avaliações sucessivas de
em pontos intermediários, combinadas com pesos escolhidos para reproduzir até certa ordem a expansão de Taylor da solução.