Explique sob que princípio é obtido os Métodos de Runge-Kutta.

Passo 1

O enunciado pede que a gente explique de onde vêm os Métodos de Runge-Kutta. Isso pertence à matéria de Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para entender a construção, vamos precisar lembrar:
  • O que é um problema de valor inicial , .
  • A ideia da expansão em série de Taylor para aproximar .

Passo 2

Antes de ver o Runge-Kutta, bora lembrar o truque da série de Taylor. Se a solução y(t+h) = y(t) + h,y'(t) + h^22,y''(t) + cdots for bem comportada, para um passo a frente temos:
Mas na prática a gente não conhece só como e nem sempre sabe calcular de forma simples. A sacada do Runge-Kutta é: em vez de diferenciar várias vezes, a gente faz várias “amostras” de em pontos intermediários e combina tudo com pesos certos para reproduzir até certo grau da Taylor.

Passo 3

Pensa assim: pra dar um passo de k1 &= f(tn,,yn), k2 &= fl(tn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k1r), k3 &= fl(tn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k2r), k4 &= f(tn+h,;yn+h,k3r), até yn+1 = yn + h6,(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) , vamos calcular alguns “slopes” (declives)
k1 = f(t_n, y_n)
k2, k3, …, dependendo da ordem. Cada ki é avaliado em um ponto intermediário onde a gente já “chutou” um valor de . Depois a gente faz uma média ponderada desses ki. Por exemplo, no clássico Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4):
e então
Os coeficientes vêm de exigir que a fórmula dê certo até a ordem na expansão de Taylor.

Passo 4

Resumindo tecnicamente, o princípio é:
  1. A gente quer aproximar a solução de usando apenas avaliações de .
  2. Faz várias avaliações em pontos bem escolhidos para capturar informação de derivadas superiores.
  3. Combina essas avaliações com pesos determinados para que o erro local seja de ordem desejada (ex.: para RK4).
    Esse é o fundamento de todos os Métodos de Runge-Kutta: média ponderada de slopes alinhada com a expansão de Taylor da solução.

Resposta

Os Métodos de Runge-Kutta são obtidos a partir da ideia de aproximar usando avaliações sucessivas de em pontos intermediários, combinadas com pesos escolhidos para reproduzir até certa ordem a expansão de Taylor da solução.

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