Considere a função
e utilize a função de iteração
. Execute 3 iterações do método do ponto fixo, partindo do valor inicial
.
Passo 1
O enunciado pede que eu execute 3 iterações da função de iteração
para a função
, começando em
.
Informações dadas:
O objetivo é calcular explicitamente
,
e
.
Passo 2
Primeiro calculo a derivada
e simplifico
. A derivada de
é
Substituo em
:
Agora simplifico essa expressão algébrica. Faço o numerador comum:
Outra forma útil, equivalente e mais intuitiva, é
Essa é a fórmula clássica de Newton para extrair
: cada iteração toma a média entre
e
.
Passo 3
Explico o procedimento de iteração de ponto fixo que vamos aplicar: dado
, calculamos
Vou aplicar essa fórmula três vezes iniciando em
. Em cada passo farei as contas com frações exatas para evitar erro de arredondamento e depois apresento o valor decimal aproximado para interpretação rápida.
Passo 4
Cálculo de
com
:
Faço a soma dentro do parêntese escrevendo em denominador comum:
Logo
Em decimal isso é
Passo 5
Cálculo de
com
:
Primeiro calculo
. Então
Faço a soma com denominador comum
:
Multiplico por
:
Em decimal:
Passo 6
Cálculo de
com
:
Calculo
. Então
Para somar uso denominador comum
:
Soma:
Multiplico por
:
Em decimal:
Passo 7
Interpretação rápida e encorajamento: os valores mostram que a iteração converge muito rápido para
. Note que
já estava bastante próximo e
coincide com muitas casas decimais de
. Ótimo trabalho — esse é exatamente o comportamento esperado do método de Newton para raízes simples.