(20 \%) Considere a função f(x)=x^{2}-3 e utilize a função de iteração \varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}. Execute 3 iterações do método do ponto fixo, partindo do valor inicial x_{0}=2.

Passo 1

O enunciado pede que eu execute 3 iterações da função de iteração
\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}
para a função f(x)=x^{2}-3, começando em x_{0}=2.
Informações dadas:
f(x)=x^{2}-3,\qquad x_{0}=2,\qquad \varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
O objetivo é calcular explicitamente x_{1}=\varphi(x_{0}), x_{2}=\varphi(x_{1}) e x_{3}=\varphi(x_{2}).

Passo 2

Primeiro calculo a derivada f'(x) e simplifico \varphi(x). A derivada de f(x)=x^{2}-3 é
f'(x)=2x.
Substituo em \varphi:
\varphi(x)=x-\frac{x^{2}-3}{2x}.
Agora simplifico essa expressão algébrica. Faço o numerador comum:
\varphi(x)=\frac{2x^{2}-(x^{2}-3)}{2x}=\frac{x^{2}+3}{2x}.
Outra forma útil, equivalente e mais intuitiva, é
\varphi(x)=\frac{1}{2}\!\left(x+\frac{3}{x}\right).
Essa é a fórmula clássica de Newton para extrair \sqrt{3}: cada iteração toma a média entre x e 3/x.

Passo 3

Explico o procedimento de iteração de ponto fixo que vamos aplicar: dado x_{n}, calculamos
x_{n+1}=\varphi(x_{n})=\frac{1}{2}\!\left(x_{n}+\frac{3}{x_{n}}\right).
Vou aplicar essa fórmula três vezes iniciando em x_{0}=2. Em cada passo farei as contas com frações exatas para evitar erro de arredondamento e depois apresento o valor decimal aproximado para interpretação rápida.

Passo 4

Cálculo de x_{1}=\varphi(x_{0}) com x_{0}=2:
x_{1}=\frac{1}{2}\!\left(2+\frac{3}{2}\right).
Faço a soma dentro do parêntese escrevendo em denominador comum:
2+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}.
Logo
x_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{2}=\frac{7}{4}.
Em decimal isso é
x_{1}=\frac{7}{4}=1{,}75.

Passo 5

Cálculo de x_{2}=\varphi(x_{1}) com x_{1}=\dfrac{7}{4}:
x_{2}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{7}{4}+\frac{3}{7/4}\right).
Primeiro calculo \dfrac{3}{7/4}=3\cdot\frac{4}{7}=\frac{12}{7}. Então
x_{2}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{7}{4}+\frac{12}{7}\right).
Faço a soma com denominador comum 28:
\frac{7}{4}=\frac{49}{28},\qquad \frac{12}{7}=\frac{48}{28},
\frac{7}{4}+\frac{12}{7}=\frac{49}{28}+\frac{48}{28}=\frac{97}{28}.
Multiplico por 1/2:
x_{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{97}{28}=\frac{97}{56}.
Em decimal:
x_{2}=\frac{97}{56}\approx 1{,}732142857142857.

Passo 6

Cálculo de x_{3}=\varphi(x_{2}) com x_{2}=\dfrac{97}{56}:
x_{3}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{97}{56}+\frac{3}{97/56}\right).
Calculo \dfrac{3}{97/56}=3\cdot\frac{56}{97}=\frac{168}{97}. Então
x_{3}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{97}{56}+\frac{168}{97}\right).
Para somar uso denominador comum 56\cdot 97=5432:
\frac{97}{56}=\frac{97\cdot97}{5432}=\frac{9409}{5432},
\frac{168}{97}=\frac{168\cdot56}{5432}=\frac{9408}{5432}.
Soma:
\frac{97}{56}+\frac{168}{97}=\frac{9409}{5432}+\frac{9408}{5432}=\frac{18817}{5432}.
Multiplico por 1/2:
x_{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{18817}{5432}=\frac{18817}{10864}.
Em decimal:
x_{3}=\frac{18817}{10864}\approx 1{,}7320508075688772.

Passo 7

Interpretação rápida e encorajamento: os valores mostram que a iteração converge muito rápido para \sqrt{3}\approx 1{,}7320508075688772. Note que x_{2} já estava bastante próximo e x_{3} coincide com muitas casas decimais de \sqrt{3}. Ótimo trabalho — esse é exatamente o comportamento esperado do método de Newton para raízes simples.

Resposta

x_{1}=\dfrac{7}{4}=1{,}75
x_{2}=\dfrac{97}{56}\approx 1{,}732142857142857
x_{3}=\dfrac{18817}{10864}\approx 1{,}7320508075688772

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