Questão 3 - Determine a solução para a integral \int_{0}^{1}\left[e^{x}+\frac{x^{5}}{5}\right] d x usando o método do trapézio e de Simpson. Compare os resultados. Considere 7 subintervalores.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1}\left[e^{x}+\frac{x^{5}}{5}\right]dx por dois métodos numéricos: método do trapézio e método de Simpson.
  • Usar 7 subintervalos no intervalo [0,1].
  • Comparar os resultados obtidos com o valor exato da integral.
Informações dadas:
  • Intervalo: \;[0,1].
  • Número de subintervalos: \;n=7.
  • Função a integrar: \;f(x)=e^{x}+\dfrac{x^{5}}{5}.

Passo 2

Primeiro calculo o valor exato da integral (para comparação). Integro termo a termo:
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = e^{x}\Big|_{0}^{1}=e-1
\int_{0}^{1}\frac{x^{5}}{5}\,dx = \frac{1}{5}\cdot\frac{x^{6}}{6}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{30}
Somando,
\text{valor exato } I=\int_{0}^{1}\left[e^{x}+\frac{x^{5}}{5}\right]dx = e-1+\frac{1}{30}=e-\frac{29}{30}.
Vou precisar de um número h que dá o tamanho do passo para os métodos compostos:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{7}=\frac{1}{7}\approx 0{,}142857142857.

Passo 3

Agora monto os nós da partição e calculo f(x_i) em cada nó. Os nós são \;x_i=\dfrac{i}{7} para i=0,\dots,7. Para a parte algébrica do termo polinomial note que
\frac{(i/7)^5}{5}=\frac{i^5}{7^5\cdot 5}=\frac{i^5}{84035},
o que facilita a conta exata dos termos polinomiais. Vou listar x_i e f_i=f(x_i)=e^{x_i}+\dfrac{x_i^5}{5} (valores numéricos arredondados com boa precisão):
\;i=0:\; x_0=0,\quad f_0=e^{0}+0=1.
\;i=1:\; x_1=\tfrac{1}{7},\quad f_1\approx 1{,}153564995484 + \dfrac{1}{84035}\approx 1{,}153576895288.
\;i=2:\; x_2=\tfrac{2}{7},\quad f_2\approx 1{,}330712706585 + \dfrac{32}{84035}\approx 1{,}331093500302.
\;i=3:\; x_3=\tfrac{3}{7},\quad f_3\approx 1{,}535063106985 + \dfrac{243}{84035}\approx 1{,}537954759273.
\;i=4:\; x_4=\tfrac{4}{7},\quad f_4\approx 1{,}770794973587 + \dfrac{1024}{84035}\approx 1{,}782980372529.
\;i=5:\; x_5=\tfrac{5}{7},\quad f_5\approx 2{,}042727119590 + \dfrac{3125}{84035}\approx 2{,}079914006009.
\;i=6:\; x_6=\tfrac{6}{7},\quad f_6\approx 2{,}356418508490 + \dfrac{7776}{84035}\approx 2{,}448950996626.
\;i=7:\; x_7=1,\quad f_7=e^{1}+\frac{1}{5}=e+0{,}2\approx 2{,}918281828459.
(Observação: some parcelas polinomiais foram calculadas exatamente por i^5/84035 e adicionadas ao e^{x_i} aproximado; essa forma dá maior precisão nas somas.)

Passo 4

Método do trapézio composto (fórmula e aplicação).
Fórmula do trapézio composto com n subintervalos e passo h:
T_n=h\left(\frac{f_0+f_n}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f_i\right).
Aqui n=7 e h=\dfrac{1}{7}. Primeiro somo os f_i internos:
\sum_{i=1}^{6} f_i \approx 1{,}153576895288+1{,}331093500302+1{,}537954759273+1{,}782980372529+2{,}079914006009+2{,}448950996626 \approx 10{,}334470530027.
Calculo \dfrac{f_0+f_7}{2}=\dfrac{1+(e+0{,}2)}{2}=\dfrac{e+1{,}2}{2}\approx 1{,}959140914230.
Agora aplico a fórmula:
T_7=\frac{1}{7}\left(1{,}959140914230+10{,}334470530027\right)\approx \frac{12{,}293611444257}{7}\approx 1{,}756230206322.

Passo 5

Método de Simpson composto (condição e ajuste, fórmula e aplicação).
Lembrete didático: a regra composta de Simpson exige um número de subintervalos n par. Aqui temos n=7 (ímpar), então não podemos aplicar Simpson diretamente em toda a malha de 7 subintervalos. Uma estratégia prática e comum na prova é aplicar Simpson sobre os primeiros 6 subintervalos (que é um número par) e usar o trapézio no último subintervalo residuário [x_6,x_7]. Esse procedimento mantém boa precisão e é rápido de aplicar.
Fórmula do Simpson composto para m subintervalos com m par e passo h:
S_m=\frac{h}{3}\left(f_0+f_m + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{m-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{m-2} f_i\right).í
Aqui uso m=6 (os primeiros 6 subintervalos, isto é o intervalo [0,x_6]), com o mesmo h=\tfrac{1}{7}.
Calculo os somatórios para m=6:
\sum_{\text{ímpares } i=1,3,5} f_i = f_1+f_3+f_5 \approx 1{,}153576895288+1{,}537954759273+2{,}079914006009\approx 4{,}77144566057.í
\sum_{\text{pares } i=2,4} f_i = f_2+f_4 \approx 1{,}331093500302+1{,}782980372529\approx 3{,}114073872831.
Aplicando Simpson nos primeiros 6 subintervalos:
S_6=\frac{h}{3}\Big(f_0+f_6 + 4(4{,}77144566057) + 2(3{,}114073872831)\Big).
Com h=\tfrac{1}{7} temos h/3=\tfrac{1}{21}, e numericamente
S_6\approx \frac{1}{21}\cdot 28{,}762881384568 \approx 1{,}369661971646.
Ainda falta a contribuição do último subintervalo [x_6,x_7]. Uso então o trapézio nesse subintervalo:
T_{\text{últ}}=\frac{h}{2}(f_6+f_7)=\frac{1}{14}\big(2{,}448950996626+(e+0{,}2)\big)\approx 0{,}383373773220.ú
Somando as duas contribuições:
S_{\text{total}}=S_6+T_{\text{últ}}\approx 1{,}369661971646+0{,}383373773220\approx 1{,}753035744866.ú

Passo 6

Comparação com o valor exato e conclusão.
Valor exato (relembrando): \;I=e-\dfrac{29}{30}\approx 1{,}751615161792.
Erros absolutos:
\text{erro}_{\text{Trapézio}}=|T_7-I|\approx |1{,}756230206322-1{,}751615161792|\approx 0{,}004615044530.é
\text{erro}_{\text{Simpson combinado}}=|S_{\text{total}}-I|\approx |1{,}753035744866-1{,}751615161792|\approx 0{,}001420583074.
Interpretação curta: com a malha de 7 subintervalos o método de Simpson (aplicado sobre os primeiros 6 subintervalos e com trapézio no último) fornece uma aproximação significativamente mais precisa que o trapézio composto puro — o erro do Simpson combinado é cerca de 3{,}25 vezes menor que o erro do trapézio neste caso.

Resposta

Trapézio ( n=7 ): 1,756230206322
Simpson (Simpson em 6 subintervalos + trapézio no último): 1,753035744866
Valor exato: e-\dfrac{29}{30}\approx 1,751615161792
Erro absoluto - Trapézio: 0,004615044530
Erro absoluto - Simpson combinado: 0,001420583074

Exercícios relacionados