Questão 3 - Determine a solução para a integral \int_{0}^{1}\left[e^{x}+\frac{x^{5}}{5}\right] d x usando o método do trapézio e de Simpson. Compare os resultados. Considere 7 subintervalores.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1}\left[e^{x}+\frac{x^{5}}{5}\right]dx por dois métodos numéricos: método do trapézio e método de Simpson.
Usar 7 subintervalos no intervalo [0,1].
Comparar os resultados obtidos com o valor exato da integral.
Informações dadas:
Intervalo: \;[0,1].
Número de subintervalos: \;n=7.
Função a integrar: \;f(x)=e^{x}+\dfrac{x^{5}}{5}.
Passo 2
Primeiro calculo o valor exato da integral (para comparação). Integro termo a termo:
Agora monto os nós da partição e calculo f(x_i) em cada nó. Os nós são \;x_i=\dfrac{i}{7} para i=0,\dots,7. Para a parte algébrica do termo polinomial note que
o que facilita a conta exata dos termos polinomiais. Vou listar x_i e f_i=f(x_i)=e^{x_i}+\dfrac{x_i^5}{5} (valores numéricos arredondados com boa precisão):
(Observação: some parcelas polinomiais foram calculadas exatamente por i^5/84035 e adicionadas ao e^{x_i} aproximado; essa forma dá maior precisão nas somas.)
Passo 4
Método do trapézio composto (fórmula e aplicação).
Fórmula do trapézio composto com n subintervalos e passo h:
Método de Simpson composto (condição e ajuste, fórmula e aplicação).
Lembrete didático: a regra composta de Simpson exige um número de subintervalos n par. Aqui temos n=7 (ímpar), então não podemos aplicar Simpson diretamente em toda a malha de 7 subintervalos. Uma estratégia prática e comum na prova é aplicar Simpson sobre os primeiros 6 subintervalos (que é um número par) e usar o trapézio no último subintervalo residuário [x_6,x_7]. Esse procedimento mantém boa precisão e é rápido de aplicar.
Fórmula do Simpson composto para m subintervalos com m par e passo h:
Interpretação curta: com a malha de 7 subintervalos o método de Simpson (aplicado sobre os primeiros 6 subintervalos e com trapézio no último) fornece uma aproximação significativamente mais precisa que o trapézio composto puro — o erro do Simpson combinado é cerca de 3{,}25 vezes menor que o erro do trapézio neste caso.
Resposta
Trapézio ( n=7 ): 1,756230206322
Simpson (Simpson em 6 subintervalos + trapézio no último): 1,753035744866
Valor exato: e-\dfrac{29}{30}\approx 1,751615161792
Erro absoluto - Trapézio: 0,004615044530
Erro absoluto - Simpson combinado: 0,001420583074